Cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( {2\,;3} \right)\,,\,B\left( {5\,;\,4} \right)\,;\,C\left( { - 1\,;\,0} \right)\). Viết phương trình đường trung tuyến \(AM\) của tam giác \(ABC\) ở dạng tham số.

Toạ độ của điểm \(B\) là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{7x + 5y - 8 = 0}\\{9x - 3y - 4 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{2}{3}}\\{y = \frac{2}{3}{\rm{. }}}\end{array}} \right.} \right.\)

Suy ra điểm \(B\) có toạ độ là \(\left( {\frac{2}{3};\frac{2}{3}} \right)\).

Toạ độ của điểm \(C\) là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{7x + 5y - 8 = 0}\\{x + y - 2 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 1}\\{y = 3.{\rm{ }}}\end{array}} \right.} \right.\)

Suy ra điểm \(C\) có toạ độ là \(( - 1;3)\).

Đường thẳng \(AB\) đi qua điểm \(B\left( {\frac{2}{3};\frac{2}{3}} \right)\) và nhận vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} (1; - 1)\) của

đường cao kẻ̉ từ \(C\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: \((x + 1) + 3(y - 3) = 0 \Leftrightarrow x + 3y - 8 = 0\)

Toạ độ của điểm \(A\) là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - y = 0}\\{x + 3y - 8 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{y = 2.}\end{array}} \right.} \right.\)

Suy ra điểm \(A\) có toạ độ là \((2;2)\).

Phương trình đường cao kẻ từ \(A(2;2)\) và nhận vectơ chỉ phương \(\vec u(5; - 7)\) của đường thẳng \(BC\) làm vectơ pháp tuyến là: \(5(x - 2) - 7(y - 2) = 0 \Leftrightarrow 5x - 7y + 4 = 0\).

Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC\), ta có toạ độ của điểm \(I\) là \(\left( {\frac{{ - 1}}{6};\frac{{11}}{6}} \right)\).

Do đó, ta có \(\overrightarrow {IA} \left( {\frac{{13}}{6};\frac{1}{6}} \right)\).

Đường trung tuyến kẻ từ \(A\) nhận \(\vec n(1; - 13)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: \((x - 2) - 13(y - 2) = 0 \Leftrightarrow x - 13y + 24 = 0\).