Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) có \(A(3;4)\), đường trung trực cạnh \(BC\) có phương trình \(3x - y + 1 = 0\), đường trung tuyến kẻ từ \(C\) có phương trình \(2x - y + 5 = 0\). Khi đó:

Gọi \(M\)là trung điểm cạnh \(BC\). Vì \(M\)nằm trên đường trung trực cạnh \(BC\)nên giả sử \(M(t;3t + 1)\).

Gọi \(G\)là trọng tâm tam giác \(ABC\). Vì \(G\)nằm trên đường trung tuyến kẻ từ \(C\)nên giả sử \(G(s;2s + 5)\).

Ta có: \(\overrightarrow {AM}  = (t - 3;3t - 3),\overrightarrow {AG}  = (s - 3;2s + 1).\)Khi đó \(\overrightarrow {AM}  = \frac{3}{2}\overrightarrow {AG}  \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t - 3 = \frac{3}{2}(s - 3)}\\{3t - 3 = \frac{3}{2}(2s + 1)}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2t - 3s =  - 3}\\{6t - 6s = 9}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = \frac{{15}}{2}}\\{s = 6.}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)

Suy ra \(M\left( {\frac{9}{2};\frac{{39}}{2}} \right)\)

Đường thẳng \(BC\)đi qua \(M\left( {\frac{9}{2};\frac{{39}}{2}} \right)\)và vuông góc với đường thẳng \(3x - y + 1 = 0\)nên ta có phương trình đường thẳng \(BC\)là: \(1 \cdot \left( {x - \frac{9}{2}} \right) + 3 \cdot \left( {y - \frac{{39}}{2}} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 3y - 63 = 0\)

Toạ độ đỉnh \(C\)là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + 3y - 63 = 0}\\{2x - y + 5 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{{48}}{7}}\\{y = \frac{{131}}{7}.}\end{array}} \right.} \right.\)

Suy ra \(C\left( {\frac{{48}}{7};\frac{{131}}{7}} \right)\). Vì \(M\)là trung điểm \(BC\)nên \(B\left( {\frac{{15}}{7};\frac{{142}}{7}} \right)\)