Cho tam giác \(MNP\) có phương trình đường thẳng chứa cạnh \(MN\) là \(2x + y + 1 = 0\), phương trình đường cao \(MK(K \in NP)\) là \(x + y - 1 = 0\), phương trình đường cao \(NQ(Q \in MP)\) là \(3x - y + 4 = 0\). Khi đó:

Toạ độ của điểm \(M\) là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x + y + 1 = 0}\\{x + y - 1 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 2}\\{y = 3.{\rm{ }}}\end{array}} \right.} \right.\)

Suy ra điểm \(M\) có toạ độ là \(( - 2;3)\).

Toạ độ của điểm \(N\) là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x + y + 1 = 0}\\{3x - y + 4 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 1}\\{y = 1.{\rm{ }}}\end{array}} \right.} \right.\)

Suy ra điểm \(N\) có toạ độ là \(( - 1;1)\).

Các đường cao \(MK\) và \(NQ\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} (1;1),\overrightarrow {{n_2}} (3; - 1)\).

Do đó các đường thẳng \(NP,MP\) lần lượt nhận \(\overrightarrow {{n_3}} (1; - 1),\overrightarrow {{n_4}} (1;3)\) là vectơ pháp tuyến.

Phương trình đường thẳng chứa cạnh \(NP\) đi qua điểm \(N( - 1;1)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_3}} (1; - 1)\) là: \((x + 1) - (y - 1) = 0 \Leftrightarrow x - y + 2 = 0\).

Phương trình đường thẳng chứa cạnh \(MP\) đi qua điểm \(M( - 2;3)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_4}} (1;3)\) là: \((x + 2) + 3(y - 3) = 0 \Leftrightarrow x + 3y - 7 = 0\).