Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho hình vuông \(ABCD\) và các điểm \(M(0;2)\), \(N(5; - 3),P( - 2; - 2),Q(2; - 4)\) lần lượt thuộc các đường thẳng chứa các cạnh \(AB,BC,CD,DA\). Lập phương trình đường thẳng \(AB\) và tính diện tích hình vuông \(ABCD\)

Đáp án:

Tọa độ \(A\)là nghiệm của hệ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = 0}\\{x - y - 2 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{y = 0.}\end{array}} \right.} \right.\)

Suy ra \(A(2;0)\). Gọi \(E\) là điểm đối xứng với \(B\) qua \(AD\) thì ta có \(E \in AC\) và \(E(1; - 3)\)

Đường thẳng \(AC\)đi qua hai điểm \(A\) và \(E\) nên phương trình đường thẳng \(AC\) là: \(\frac{{x - 2}}{{1 - 2}} = \frac{{y - 0}}{{ - 3 - 0}} \Leftrightarrow 3x - y - 6 = 0\)

Điểm \(C\) thuộc đường thẳng \(AC,M\)là trung điểm \(BC\)nên giả sử \(C(c;3c - 6)\) và \(M\left( {\frac{{c + 1}}{2};\frac{{3c - 3}}{2}} \right)\)

Điểm \(M\)thuộc đường thẳng \(AM\)nên \(\frac{{c + 1}}{2} - \frac{{3c - 3}}{2} - 2 = 0 \Leftrightarrow c = 0\). Vậy \(C(0; - 6)\).

Gọi \(M\)là trung điểm cạnh \(BC\). Vì \(M\)nằm trên đường trung trực cạnh \(BC\)nên giả sử \(M(t;3t + 1)\).

Gọi \(G\)là trọng tâm tam giác \(ABC\). Vì \(G\)nằm trên đường trung tuyến kẻ từ \(C\)nên giả sử \(G(s;2s + 5)\).

Ta có: \(\overrightarrow {AM}  = (t - 3;3t - 3),\overrightarrow {AG}  = (s - 3;2s + 1).\)Khi đó \(\overrightarrow {AM}  = \frac{3}{2}\overrightarrow {AG}  \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t - 3 = \frac{3}{2}(s - 3)}\\{3t - 3 = \frac{3}{2}(2s + 1)}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2t - 3s =  - 3}\\{6t - 6s = 9}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = \frac{{15}}{2}}\\{s = 6.}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)

Suy ra \(M\left( {\frac{9}{2};\frac{{39}}{2}} \right)\)

Đường thẳng \(BC\)đi qua \(M\left( {\frac{9}{2};\frac{{39}}{2}} \right)\)và vuông góc với đường thẳng \(3x - y + 1 = 0\)nên ta có phương trình đường thẳng \(BC\)là: \(1 \cdot \left( {x - \frac{9}{2}} \right) + 3 \cdot \left( {y - \frac{{39}}{2}} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 3y - 63 = 0\)

Toạ độ đỉnh \(C\)là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + 3y - 63 = 0}\\{2x - y + 5 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{{48}}{7}}\\{y = \frac{{131}}{7}.}\end{array}} \right.} \right.\)

Suy ra \(C\left( {\frac{{48}}{7};\frac{{131}}{7}} \right)\). Vì \(M\)là trung điểm \(BC\)nên \(B\left( {\frac{{15}}{7};\frac{{142}}{7}} \right)\)