Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho hình vuông \(ABCD\) và các điểm \(M(0;2)\), \(N(5; - 3),P( - 2; - 2),Q(2; - 4)\) lần lượt thuộc các đường thẳng chứa các cạnh \(AB,BC,CD,DA\). Lập phương trình đường thẳng \(AB\) và tính diện tích hình vuông \(ABCD\)

Gọi \(M\)là trung điểm cạnh \(BC\). Vì \(M\)nằm trên đường trung trực cạnh \(BC\)nên giả sử \(M(t;3t + 1)\).

Gọi \(G\)là trọng tâm tam giác \(ABC\). Vì \(G\)nằm trên đường trung tuyến kẻ từ \(C\)nên giả sử \(G(s;2s + 5)\).

Ta có: \(\overrightarrow {AM}  = (t - 3;3t - 3),\overrightarrow {AG}  = (s - 3;2s + 1).\)Khi đó \(\overrightarrow {AM}  = \frac{3}{2}\overrightarrow {AG}  \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t - 3 = \frac{3}{2}(s - 3)}\\{3t - 3 = \frac{3}{2}(2s + 1)}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2t - 3s =  - 3}\\{6t - 6s = 9}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = \frac{{15}}{2}}\\{s = 6.}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)

Suy ra \(M\left( {\frac{9}{2};\frac{{39}}{2}} \right)\)

Đường thẳng \(BC\)đi qua \(M\left( {\frac{9}{2};\frac{{39}}{2}} \right)\)và vuông góc với đường thẳng \(3x - y + 1 = 0\)nên ta có phương trình đường thẳng \(BC\)là: \(1 \cdot \left( {x - \frac{9}{2}} \right) + 3 \cdot \left( {y - \frac{{39}}{2}} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 3y - 63 = 0\)

Toạ độ đỉnh \(C\)là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + 3y - 63 = 0}\\{2x - y + 5 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{{48}}{7}}\\{y = \frac{{131}}{7}.}\end{array}} \right.} \right.\)

Suy ra \(C\left( {\frac{{48}}{7};\frac{{131}}{7}} \right)\). Vì \(M\)là trung điểm \(BC\)nên \(B\left( {\frac{{15}}{7};\frac{{142}}{7}} \right)\)