Trong không gian \[Oxyz,\] cho đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{z}{1}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x + y - 2z + 2 = 0.\) Phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm nằm trên đường thẳng \(d\) có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với \(\left( P \right)\) và đi qua điểm \(A\left( {1\,;\,\, - 1\,;\,\,1} \right)\) là:   

\(S\left( {0\,;\,\,0\,;\,\,\sqrt 2 } \right),\,\,C\left( {1\,;\,\,1\,;\,\,0} \right),\)\(A\left( {0\,;\,\,0\,;\,\,0} \right),\,\,\)\(B\left( {0\,;\,\,1\,;\,\,0} \right),\,\,\)\(\overrightarrow {SC}  = \left( {1\,;\,\,1\,;\,\, - \sqrt 2 } \right),\,\,\overrightarrow {SB}  = \left( {0\,;\,\,1\,;\,\, - \sqrt 2 } \right).\)

Do \(\left( {AMN} \right) \bot SC\) nên \(\left( {AMN} \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {SC} .\)

Do đó \(\sin \varphi  = \frac{{\left| 3 \right|}}{{2\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \varphi  = 60^\circ {\rm{. }}\)Chọn D.

\( \Rightarrow {V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot {S_{ABCD}} \cdot SH = \frac{1}{3} \cdot A{B^2} \cdot SH = \frac{1}{3} \cdot {\left( {3\sqrt 3 } \right)^2} \cdot \frac{9}{2} = \frac{{81}}{2}\) (đvtt).

Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \[SAB,\] qua \(G\) kẻ đường thẳng song song với \[AB,\] cắt \[SA\] và \[SB\] lần lượt tại \[M,{\rm{ }}N.\]

Qua \(N\) kẻ đường thẳng song song với \[BC\] cắt \[SC\] tại \(P\), qua \(M\) kẻ đường thẳng song song với \[AD\] cắt \[SD\] tại \[Q.\]

Suy ra \(\left( {MNPQ} \right)\) là mặt phẳng đi qua \(G\) và song song với \(\left( {ABCD} \right)\).

Khi đó \(\frac{{SM}}{{SA}} = \frac{{SN}}{{SB}} = \frac{{SP}}{{SC}} = \frac{{SQ}}{{SD}} = \frac{{SG}}{{SH}} = \frac{2}{3}.\)

Ta có \(\frac{{{V_{S.MNP}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SM}}{{SA}} \cdot \frac{{SN}}{{SB}} \cdot \frac{{SP}}{{SC}} = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^2} = \frac{8}{{27}}\)\( \Rightarrow {V_{S.MNP}} = \frac{8}{{27}} \cdot {V_{S.ABC}} = \frac{8}{{27}} \cdot \frac{1}{2}{V_{S.ABCD}} = \frac{4}{{27}}{V_{S.ABCD}}\)

\(\frac{{{V_{S.MPQ}}}}{{{V_{S.ACD}}}} = \frac{{SM}}{{SA}} \cdot \frac{{SP}}{{SC}} \cdot \frac{{SQ}}{{SD}} = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^2} = \frac{8}{{27}} \Rightarrow {V_{S.MPQ}} = \frac{8}{{27}} \cdot {V_{S.ACD}} = \frac{8}{{27}} \cdot \frac{1}{2}{V_{S.ABCD}} = \frac{4}{{27}}{V_{S.ABCD}}\)

Vậy \({V_{S.MNPQ}} = {V_{S.MNP}} + {V_{S.MPQ}} = \frac{4}{{27}}{V_{S.ABCD}} + \frac{4}{{27}}{V_{S.ABCD}} = \frac{8}{{27}}{V_{S.ABCD}} = \frac{8}{{27}} \cdot \frac{{81}}{2} = 12\) (đvtt).

Đáp án cần nhập là: \(12\).