Có bao nhiêu cặp số nguyên x ;y thỏa mãn 0≤x≤2025 và ${\log }_3^{162x+243}+2x-1 = 2y +9^y$? (nhập đáp án vào ô trống).

Đáp án:  __

Đáp án đúng là "3"

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp hàm số đặc trưng.

Lời giải

Ta có \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {162x + 243} \right) + 2x - 1 = 2y + {9^y} \Leftrightarrow {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left[ {81.\left( {2x + 3} \right)} \right] + 2x - 1 = 2y + {3^{2y}}\)

\( \Leftrightarrow {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {2x + 3} \right) + \left( {2x + 3} \right) = 2y + {3^{2y}}\).

Xét hàm số \(f\left( t \right) = t + {3^t}\) trên \(\mathbb{R}\).

\(f'\left( t \right) = 1 + {3^t}.{\rm{ln}}3 > 0,\forall t \in \mathbb{R}\) nên hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Do đó từ phương trình \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {2x + 3} \right) + \left( {2x + 3} \right) = 2y + {3^{2y}}\) ta suy ra:

\({\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {2x + 3} \right) = 2y \Leftrightarrow 2x + 3 = {3^{2y}} \Leftrightarrow x = \frac{{{9^y} - 3}}{2}\).

Vì \(0 \le x \le 2025\) nên \(0 \le \frac{{{9^y} - 3}}{2} \le 2025 \Leftrightarrow {\rm{lo}}{{\rm{g}}_9}3 \le y \le {\rm{lo}}{{\rm{g}}_9}4053\).

Mà \(y \in \mathbb{Z}\) nên \(y \in \left\{ {1;2;3} \right\}\)

Với \(y = 1 \Rightarrow x = \frac{{{9^1} - 3}}{2} = 3\left( n \right)\)

Với \(y = 2 \Rightarrow x = \frac{{{9^2} - 3}}{2} = 39\left( n \right)\)

Với \(y = 3 \Rightarrow x = \frac{{{9^3} - 3}}{2} = 363\left( n \right)\)