Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình chữ nhật \(ABCD,AB = 2a,BC = a\). Tam giác \(SAB\) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi \(M\) là trung điểm \(CD\). Khoảng cách giữa \(AM\) và \(SD\) là:}}\).

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau, ta có thể áp dụng phương pháp tọa độ hóa trong không gian

Sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AM\) và \(SD\) chéo nhau trong không gian:

\({d_{\left[ {AM,SD} \right]}} = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {SD} } \right]\overrightarrow {AS} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {SD} } \right]} \right|}}\)

Lời giải

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(S\) trên \(AB\). Khi đó \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\). M là trung điểm \(CD\) nên \(HM \bot HB\).

Đặt hình chóp \(S.ABCD\) vào không gian \(Oxyz\), sao cho \(H \equiv O\), \(HB \equiv Ox,HM \equiv Oy,HS \equiv Oz\).

Ta có \(SH = \frac{{AB\sqrt 3 }}{2} = \frac{{2a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \).

Tọa độ của các điểm như sau: \(A\left( { - a;0;0} \right);M\left( {0;a;0} \right);S\left( {0;0;a\sqrt 3 } \right);D\left( { - a;a;0} \right)\).

Do đó \(\overrightarrow {AM} = \left( {a;a;0} \right);\overrightarrow {SD} = \left( { - a;a; - a\sqrt 3 } \right);\overrightarrow {AS} = \left( {a;0;a\sqrt 3 } \right)\)

Và \(\left[ {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {SD} } \right] = \left( { - {a^2}\sqrt 3 ;{a^2}\sqrt 3 ;2{a^2}} \right)\);

      \(\left| {\left[ {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {SD} } \right]} \right| = \sqrt {{{\left( { - {a^2}\sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( {{a^2}\sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( {2{a^2}} \right)}^2}} = {a^2}\sqrt {10} \);

      \(\left| {\left[ {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {SD} } \right].\overrightarrow {AS} } \right| = \left| { - {a^3}\sqrt 3 + 2{a^3}\sqrt 3 } \right| = {a^3}\sqrt 3 \).

Vậy khoảng cách giữa \(AM\) và \(SD\) là:

\({d_{\left[ {AM,SD} \right]}} = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {SD} } \right]\overrightarrow {AS} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {SD} } \right]} \right|}} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{{a^2}\sqrt {10} }} = \frac{{a\sqrt {30} }}{{10}}\).