Trong không gian \(Oxyz\), cho các điểm \(A\left( {1; - 2;0} \right)\) và \(B\left( {3;2; - 8} \right)\). Trong các vectơ dưới đây, vectơ nào là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(AB\)?

Đáp án đúng là "4"

Phương pháp giải

Vẽ bảng biến thiên của của hàm số \(f\left( x \right)\) trên \(\left[ { - 4; - 2} \right)\) rồi dựa vào bảng biến thiên kết luận giá trị nhỏ nhất của \(f\left( x \right)\).

Lời giải

Xét các hàm số \(h\left( x \right) = \left| {{x^4} - 2{x^2} - 3} \right|\) và \(u\left( x \right) = \left| {{x^4} - 2{x^2} - 3} \right| + m\).

Ta có hàm số \(u\left( x \right)\) và \(h\left( x \right)\) có cùng số điểm cực trị.

Đồ thị hàm số \(h\left( x \right) = \left| {{x^4} - 2{x^2} - 3} \right|\) như sau:

​

Từ đó suy ra hàm số \(u\left( x \right) = \left| {{x^4} - 2{x^2} - 3} \right| + m\) cũng có 5 điểm cực trị.

Dựa vào xét dấu đạo hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) ở đề bài,suy ra \(f\left( x \right)\) có 2 điểm cực trị là \(x = 4\) và \(x = 5\).

Ta có \(g\left( x \right) = f\left( {\left| {{x^4} - 2{x^2} - 3} \right| + m} \right)\)

Vì \(u\left( x \right) = \left| {{x^4} - 2{x^2} - 3} \right| + m\) có 5 điểm cực trị nên phương trình  có 5 nghiệm bội lẻ phân biệt.

Do đó, để hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {\left| {{x^4} - 2{x^2} - 3} \right| + m} \right)\) có ít nhất 7 điểm cực trị thì phương trình \(f'\left( {\left| {{x^4} - 2{x^2} - 3} \right| + m} \right) = 0\) có ít nhất 2 nghiệm phân biệt khác các nghiệm của (1).

Ta có

\(f'\left( {\left| {{x^4} - 2{x^2} - 3} \right| + m} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left| {{x^4} - 2{x^2} - 3} \right| + m = 4}\\{\left| {{x^4} - 2{x^2} - 3} \right| + m = 5}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left| {{x^4} - 2{x^2} - 3} \right| = 4 - m}\\{\left| {{x^4} - 2{x^2} - 3} \right| = 5 - m}\end{array}} \right.\) (2)

Để (2) có ít nhất 2 nghiệm phân biệt khác các nghiệm của (1) thì \(5 - m > 0 \Leftrightarrow m < 5\).

Mà \(m\) là số nguyên dương nên có 4 giá trị của tham số \(m\) thỏa yêu cầu bài toán.