Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y + 6z - 2 = 0\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x - my + z + 3m - 2 = 0\). Gọi \(P\) là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để mặt phẳng \(\left( P \right)\) cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) theo giao tuyến là đường tròn có chu vi bằng \(6\pi \). Tính tổng các phần tử của \(P\)?    

Điều kiện: \(x >  - 25\).

Ta có: \(\left( {{3^{{x^2}}} - {9^x}} \right)\left[ {{\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {x + 25} \right) - 3} \right] \le 0\)

Trường hợp 1: \({3^{{x^2}}} - {9^x} \ge 0\) và \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {x + 25} \right) - 3 \le 0\).

\(\left\{ \begin{array}{l}{3^{{x^2}}} - {9^x} \ge 0\\{\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {x + 25} \right) - 3 \le 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{3^{{x^2}}} \ge {3^{2x}}\\x + 25 \le {3^3}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} \ge 2x\\x \le 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x \le 0\\x \ge 2\end{array} \right.\\x \le 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \le 0\\x = 2\end{array} \right.\).

Mà \(x >  - 25\) nên \(\left[ \begin{array}{l} - 25 < x \le 0\\x = 2\end{array} \right.\).

Trường hợp 2: \({3^{{x^2}}} - {9^x} \le 0\) và \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {x + 25} \right) - 3 \ge 0\).

\(\left\{ \begin{array}{l}{3^{{x^2}}} - {9^x} \le 0\\{\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}\left( {x + 25} \right) - 3 \ge 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{3^{{x^2}}} \le {3^{2x}}\\x + 25 \ge {3^3}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} \le 2x\\x \ge 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 2\\x \ge 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow x = 2\).

Tóm lại, có 26 giá trị nguyên của \(x\) thỏa mãn bất phương trình đã cho. Chọn C.

Gọi \(M\) là trung điểm của \(B'C'\).

Do tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) và lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) là lăng trụ đứng nên \(A'M \bot B'C'\) và \(AM \bot B'C\).

Vậy \(\left[ {A,B'C',A'} \right] = \widehat {A'MA} = 30^\circ \).

Xét tam giác \(A'C'B'\) có \(A'C' = A'B' = 3\) và \(\widehat {B'A'C'} = 120^\circ \) nên \(A'M = 1,5\).

Xét tam giác \(AA'M\) vuông tại \(A'\) có \(AA' = A'M \cdot \tan 30^\circ  = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Do \(A'C\) cắt \(AC'\) tại trung điểm I nên ta có

\(d\left( {BC,\left( {AB'C'} \right)} \right) = d\left( {C,\left( {AB'C'} \right)} \right) = d\left( {A',\left( {AB'C'} \right)} \right) = A'H\).

Có \(\frac{1}{{A'{H^2}}} = \frac{1}{{A'{M^2}}} + \frac{1}{{A'{A^2}}} = \frac{{16}}{9} \Rightarrow A'H = \frac{3}{4}\).

Vậy \(d\left( {BC,\left( {AB'C'} \right)} \right) = \frac{3}{4}\). Chọn C.