Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\). Đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) như hình vẽ bên dưới.

Biết rằng \(f\left( 0 \right) + f\left( 1 \right) - 2f\left( 2 \right) = f\left( 4 \right) - f\left( 3 \right)\). Giá trị nào sau đây là giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {0;4} \right]\)?

Dựa vào đồ thị của hàm \(f'\left( x \right)\) ta có bảng biến thiên.

Vậy giá trị lớn nhất \(M = f\left( 2 \right)\)

Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\) nên \(f\left( 2 \right) > f\left( 1 \right) = f\left( 2 \right) - f\left( 1 \right) > 0\).

Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( {2;4} \right)\) nên \(f\left( 2 \right) > f\left( 3 \right) \Rightarrow f\left( 2 \right) - f\left( 3 \right) > 0\).

Theo giả thuyết: \(f\left( 0 \right) + f\left( 1 \right) - 2f\left( 2 \right) = f\left( 4 \right) - f\left( 3 \right)\).

\( \Leftrightarrow f\left( 0 \right) - f\left( 4 \right) = f\left( 2 \right) - f\left( 1 \right) + f\left( 2 \right) - f\left( 3 \right) > 0 \Rightarrow f\left( 0 \right) > f\left( 4 \right)\)

Vậy giá trị nhỏ nhất \(m = f\left( 4 \right)\). Chọn D.