Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho ba điểm \(A(0;0;-1),B(-1;1;0),C(1;0;1)\). Tìm tọa độ điểm \(M\) sao cho \(3M{A}^{2}+2M{B}^{2}-M{C}^{2}\) đạt giá trị nhỏ nhất.
A. \(M\left. (-\frac{3}{4};\frac{1}{2};2) \right.\).
B. \(M\left. (-\frac{3}{4};\frac{3}{2};-1) \right.\).
C. \(M\left. (\frac{3}{4};\frac{1}{2};-1) \right.\).
\(M\left. (-\frac{3}{4};\frac{1}{2};-1) \right.\).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Gọi $I$ là điểm thỏa mãn
\[
3\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IC}=\vec{0}.
\]
Ta có:
\[
3\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IC}=\vec{0}
\]
\[
\Leftrightarrow
3(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OI})
+2(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OI})
-(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OI})
=\vec{0}
\]
\[
\Leftrightarrow
4\overrightarrow{OI}
=3\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}
\]
\[
\Leftrightarrow
\overrightarrow{OI}
=\frac{3}{4}\overrightarrow{OA}
+\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}
-\frac{1}{4}\overrightarrow{OC}
\]
Do đó,
\[
I\left(\frac{-3}{4},\frac{1}{2},-1\right).
\]
Mặt khác:
\[
3MA^2+2MB^2-MC^2
\]
\[
=3(\overrightarrow{IA}-\overrightarrow{IM})^2
+2(\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IM})^2
-(\overrightarrow{IC}-\overrightarrow{IM})^2
\]
\[
=3IA^2+2IB^2-IC^2+4IM^2
-2\overrightarrow{IM}(3\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IC})
\]
\[
=3IA^2+2IB^2-IC^2+4IM^2
-2\overrightarrow{IM}\cdot\vec{0}
\]
\[
=3IA^2+2IB^2-IC^2+4IM^2.
\]
Để \(3M{A}^{2}+2M{B}^{2}-M{C}^{2}\) đạt giá trị nhỏ nhất thì \(M≡I\). Vậy \(M\left. (-\frac{3}{4};\frac{1}{2};-1) \right.\).
Đáp án đúng là D
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Các sản phẩm khác của Vietjack:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
a. Toạ độ điểm \(C(4;10;0)\).
Đúng
Sai
b. Phương trình mặt phẳng \((SBD)\) là \(\frac{x}{4}+\frac{y}{10}+\frac{z}{3,5}=1\).
Đúng
Sai
c. Toạ độ của vectơ là \((4;10;-3,5)\).
Đúng
Sai
d. Góc giữa đường thằng \(SC\) và mặt phằng ( \(SBD\) ) (làm tròn đến hàng đơn vị của độ) là \({20}^{∘}\)
Đúng
Sai
Lời giải
vì nên \(C(4;10;0)\) và \(\overrightarrow{SC}=(4;10;-3,5)\).
Phương trình mặt phẳng \((SBD)\) là: \(\frac{x}{4}+\frac{y}{10}+\frac{z}{3,5}=1\).
\(⇔35x+14y+40z-140=0\)Suy ra \(⃗n=(35;14;40)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((SBD)\).
Khi đó, \(sin(SC,(SBD))=\frac{|⃗SC⋅⃗n|}{|⃗SC|⋅|⃗n|}=\frac{|4⋅35+10⋅14+(-3,5)⋅40|}{\sqrt[]{{4}^{2}+{10}^{2}+(-3,5{)}^{2}}⋅\sqrt[]{{35}^{2}+{14}^{2}+{40}^{2}}}=\frac{280\sqrt[]{53}}{9063}\).
Vậy góc giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \((SBD)\) là khoảng \({13}^{∘}\).
Đáp án đúng là Đ; Đ; Đ; S
Câu 2
A. 30
B. Vô số.
C. 31
D. 29
Lời giải
Điều kiên xác định: \(x>-30\).
Đặt \(f(x)=\left. ({3}^{{x}^{2}}-{9}^{x}) \right.\left[ {log}_{2}(x+30)-5 \right]\)
Xét phương trình \(f(x)=0\)
\[
\Leftrightarrow
\begin{cases}
3^{x^2}=9^x\\
\log_2(x+30)=5
\end{cases}
\Leftrightarrow
\left[
\begin{aligned}
x^2&=2x\\
x+30&=2^5
\end{aligned}
\right.
\Leftrightarrow
\left[
\begin{aligned}
x&=0\\
x&=2 \ (\text{kép})
\end{aligned}
\right.
\]
\Leftrightarrow
\begin{cases}
3^{x^2}=9^x\\
\log_2(x+30)=5
\end{cases}
\Leftrightarrow
\left[
\begin{aligned}
x^2&=2x\\
x+30&=2^5
\end{aligned}
\right.
\Leftrightarrow
\left[
\begin{aligned}
x&=0\\
x&=2 \ (\text{kép})
\end{aligned}
\right.
\]
Ta có bảng xét dấu:
![Có bao nhiêu số nguyên x thỏa mãn (3^x^2-9^x)[log_2}(x+30)-5]≤0 (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/images/1773136930/image12.png)
Suy ra bất phương trình \(f(x)≤0\) có tâp nghiệm là: \(S=(-30;0]∪\{2\}\)
Với \(x∈Z⇒x∈\{-29;-28;…;-2;-1;0;2\}\).
Vậy có 31 số nguyên \(x\) thỏa mãn.
Đáp án cần chọn là C
Câu 3
A. \(\frac{\sqrt[]{7}}{3}\).
B. \(\frac{\sqrt[]{2}}{3}\).
C. \(\frac{1}{3}\).
D. \(\frac{2\sqrt[]{2}}{3}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
A. \(6{a}^{3}\).
B. \(12{a}^{3}\).
C. \(2{a}^{3}\).
D. \({a}^{3}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
A. Đường thẳng \(y=x\).
B. Đường thẳng \(y=-x\).
C. Đường thằng \(x=0\)..
D. Đường thẳng \(y=-2x\)..
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập