Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\). Hàm số \(y = f'\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {1 - 2x} \right) + {x^2} - x\) nghịch biến trên khoảng nào?

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Khảo sát và đánh giá

Lời giải

Xét hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {1 - 2x} \right) + {x^2} - x\)

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\)

Đạo hàm: \(g'\left( x \right) = - 2f'\left( {1 - 2x} \right) + 2x - 1\)

Để hàm số \(g\left( x \right)\) nghịch biến

\( \Leftrightarrow g'\left( x \right) \le 0 \Leftrightarrow - 2f'\left( {1 - 2x} \right) + 2x - 1 \le 0 \Leftrightarrow f'\left( {1 - 2x} \right) \ge - \frac{1}{2}\left( {1 - 2x} \right)\) (*)

Đặt: \(t = 1 - 2x,t \in \mathbb{R}\), Bất phương trình (*) trở thành: \(f'\left( t \right) \ge - \frac{1}{2}t\)

Từ đồ thị ta có: \(f'\left( t \right) \ge - \frac{1}{2}t \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 2 \le t \le 0}\\{t \ge 4}\end{array}} \right.\)

Do đó: \(g'\left( x \right) \le 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 2 \le 1 - 2x \le 0}\\{1 - 2x \ge 4}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{1}{2} \le x \le \frac{3}{2}}\\{x \le - \frac{3}{2}}\end{array}} \right.} \right.\)

Vậy hàm số \(y = g\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left( {\frac{1}{2};\frac{3}{2}} \right)\) và \(\left( { - \infty ; - \frac{3}{2}} \right)\).