Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để hàm số: \(y = \frac{{{\rm{sin}}x - 2}}{{{\rm{sin}}x - m}}\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{6}} \right)\)?                                            

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Đặt \({\rm{sin}}x = t\), khảo sát hàm \(f\left( t \right)\)

Lời giải

Đặt \({\rm{sin}}x = t\)

\(x \in \left( {0;\frac{\pi }{6}} \right) \Rightarrow t \in \left( {0;\frac{1}{2}} \right)\)

Yêu cầu bài toán tương ứng với tìm điều kiện của \(m\) để hàm số \(f\left( t \right) = \frac{{t - 2}}{{t - m}}\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0;\frac{1}{2}} \right)\)

Xét hàm số: \(f\left( t \right) = \frac{{t - 2}}{{t - m}}\). Để hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0;\frac{1}{2}} \right)\) thì:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{f'\left( t \right) > 0}\\{m \notin \left( {0;\frac{1}{2}} \right)}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - m + 2 > 0}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \le 0}\\{m \ge \frac{1}{2}}\end{array}} \right.}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m < 2}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \le 0}\\{m \ge \frac{1}{2}}\end{array}} \right.}\end{array} \Leftrightarrow m \in \left( { - \infty ;0} \right] \cup \left[ {\frac{1}{2};2} \right)} \right.} \right.} \right.\)