Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m không lớn hơn 10 để hàm số:  $y= \left|x^3-3x^2+m-4\right|$ đồng biến trên khoảng $(3; +\infty )$? (nhập đáp án vào ô trống)

Đáp án:  __

 

Đáp án đúng là "7"

Phương pháp giải

Khảo sát và lập bảng biến thiên của hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + m - 4\), từ đó suy ra bảng biến thiên của hàm số \(y = \left| {{x^3} - 3{x^2} + m - 4} \right|\)

Lời giải

Xét hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + m - 4\)

Ta có: \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 6x,f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x = 2}\end{array}} \right.\)

Bảng biến thiên của hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + m - 4\)

Vì đồ thị hàm số \(y = \left| {f\left( x \right)} \right|\) có được bằng cách giữ nguyên phần đồ thị của hàm số \(y = f\left( x \right)\) ở phía trên trục hoành, sau đó lấy đối xứng phần đồ thị ở phía dưới lên trên qua trục Ox.

Vậy hàm số \(y = \left| {f\left( x \right)} \right|\) đồng biến trên \(\left( {3; + \infty } \right) \Leftrightarrow f\left( 3 \right) \ge 0\)

\( \Leftrightarrow m - 4 \ge 0\)

\( \Leftrightarrow m \ge 4\)

Kết hợp với điều kiện của bài ta có: \(m \in \left[ {4;10} \right) \Rightarrow m \in \left\{ {4;5;6;7;8;9;10} \right\}\)