Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như hình vẽ sau:

Có bao nhiêu cặp số nguyên (m;n) để phương trình $\left|f\left(x\right)-m\right| = 2n$ có đúng 5 nghiệm? (Nhập đáp án vào ô trống)

Đáp án:  __

 

Đáp án đúng là "6"

Phương pháp giải

Lời giải

Nếu \(2n < 0\) thì phương trình vô nghiệm (loại)

Nếu \(n = 0 \Rightarrow f\left( x \right) = m\) có tối đa 3 nghiệm (loại)

Nếu \(n > 0 \Rightarrow \left| {f\left( x \right) - m} \right| = 2n \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{f\left( x \right) - m = 2n}\\{f\left( x \right) - m =  - 2n}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{f\left( x \right) = m + 2n\,\,(1)}\\{f\left( x \right) = m - 2n\,\,(2)}\end{array}} \right.} \right.\)

Đường thẳng \(y = m + 2n\) song song và nằm phía trên đường thẳng \(y = m - 2n\).

Vì vậy phương trình có đúng 5 nghiệm khi và chỉ khi phương trình (1) có 2 nghiệm và phương trình (2) có 3 nghiệm hoặc ngược lại.

\[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m + 2n = 11}\\{ - 5 < m - 2n < 11}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 5 < m + 2n < 11}\\{m - 2n =  - 5}\end{array}} \right.}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 11 - 2n}\\{ - 5 < (11 - 2n) - 2n < 11}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 5 < (2n - 5) + 2n < 11}\\{m = 2n - 5}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 11 - 2n}\\{0 < n < 4}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 < n < 4}\\{m = 2n - 5}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\]

\( \Rightarrow \left( {m;n} \right) = \left( {9;1} \right);\left( {7;2} \right);\left( {5;3} \right);\left( { - 3;1} \right);\left( { - 1;2} \right);\left( {1;3} \right)\)

Vậy có 6 cặp số nguyên \(\left( {m;n} \right)\) thỏa mãn yêu cầu bài toán