Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số $y= \left|x^3-3x+m\right|$ trên đoạn [0; 2] bằng 3. Tập hợp S có bao nhiêu phần tử? (Nhập đáp án vào ô trống)

Đáp án:  __

 

Đáp án đúng là "2"

Phương pháp giải

Đánh giá hoặc khảo sát hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 3x + m\)

Lời giải

Xét hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 3x + m\) trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\). Khi đó: \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 1}\\{x = 1}\end{array}} \right.\)

Vậy \(f\left( 0 \right) = m,f\left( 1 \right) = m - 2,f\left( 2 \right) = m + 2\).

Do đó:

\(\mathop {{\rm{max}}}\limits_{\left[ {0;2} \right]} y = \left| {m + 2} \right| \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left| {m + 2} \right| = 3}\\{\left| {m + 2\left|  \ge  \right|m - 2} \right|}\\{\left| {m + 2} \right| \ge \left| m \right|}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \ge 0}\\{m \ge  - 1}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 1}\\{m =  - 5}\end{array}{\rm{\;}}} \right.}\end{array}} \right.} \right. \Rightarrow m = 1\)

\(\mathop {\max }\limits_{[0;2]} y = |m| \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{|m|\, \ge \,|m + 2|}\\{|m|\, \ge \,|m - 2|}\\{|m|\, = \,\,3}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \le  - 1}\\{m \ge 1}\\{\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 3}\\{m =  - 3}\end{array}} \right.}\end{array}} \right. \Rightarrow m \in \emptyset } \right.\)

Vậy tập hợp \(S\) có hai phần tử là \(m = 1,m =  - 1\)