Trong không gian hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho hai điểm \(M\left( {1; - 2;1} \right),A\left( {1;2; - 3} \right)\) và đường thẳng \(d:\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y - 5}}{2} = \frac{z}{{ - 1}}\). Tìm vecto chỉ phương của đường thẳng \({\rm{\Delta }}\) đi qua \(M\), vuông góc với đường thẳng \(d\), đồng thời cách điểm \(A\) một khoảng bé nhất.

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng đi qua \(M\) và vuông góc với \(d\)

\({\rm{\Delta }} \subset \left( P \right) \Rightarrow d{(A,d)_{{\rm{min}}}} \Leftrightarrow \overrightarrow {{u_{\rm{\Delta }}}} = \left[ {\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} ,\left[ {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} } \right]} \right]\)

Lời giải

Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng đi qua \(M\) và vuông góc với \(d\) khi đó \(\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \overrightarrow {{u_d}} = \left( {2;2; - 1} \right)\).

Khi đó \({\rm{\Delta }} \subset \left( P \right) \Rightarrow d{(A,d)_{{\rm{min}}}} \Leftrightarrow \overrightarrow {{u_{\rm{\Delta }}}} = \left[ {\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} ,\left[ {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} } \right]} \right]\)

\(\overrightarrow {AM} = \left( {0;4; - 4} \right)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {{u_{\rm{\Delta }}}} = \left[ {\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} ,\left[ {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} } \right]} \right] = \left( { - 24;12; - 24} \right) = - 12\left( {2; - 1;2} \right)\)