Trong hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho đường thẳng: \(d:\frac{{x + 2}}{{ - 1}} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z - 2}}{2}\) và điểm \(M\left( { - 2;3;1} \right)\). Xác định phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa đường thẳng \(d\) sao cho khoảng cách từ \(M\) đến \(\left( P \right)\) đạt giá trị lớn nhất?

Đáp án đúng là B

Phương pháp giải

Gọi \({\rm{H}},{\rm{K}}\) lần lượt là hình chiếu của \(M\) trên \(\left( P \right),\left( d \right)\).

Khi đó: \(d\left( {M;\left( P \right)} \right) = MH \le MK \Rightarrow d{(M;\left( P \right))_{{\rm{max}}}} = MK\)

Lời giải

Gọi \({\rm{H}},{\rm{K}}\) lần lượt là hình chiếu của \(M\) trên \(\left( P \right),\left( d \right)\).

Khi đó: \(d\left( {M;\left( P \right)} \right) = MH \le MK \Rightarrow d{(M;\left( P \right))_{{\rm{max}}}} = MK\)

Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng đi qua \(M\) và chứa đường thẳng \(d\).

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} \bot \overrightarrow {{u_d}} }\\{\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} \bot \overrightarrow {{n_{\left( \alpha \right)}}} }\end{array} \Rightarrow \overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow {MA} } \right]} \right.\) với \(A\left( { - 2;1;2} \right) \in d\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow {MA} } \right]} \right]\).

Mà \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {{u_d}} = \left( { - 1;1;2} \right)}\\{\overrightarrow {MA} = \left( {0; - 2;1} \right)}\end{array} \Rightarrow \overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left( {0;12; - 6} \right) = 6\left( {0;2; - 1} \right)} \right.\)

Phương trình mặt phẳng: \(\left( P \right):0\left( {x + 2} \right) + 2\left( {y - 1} \right) - \left( {z + 2} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 2y - z - 4 = 0\)