Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA = a,SB = b,SC = c\). Một mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) luôn đi qua trọng tâm của tam giác \(ABC\), cắt các cạnh \(SA,SB,SC\) lần lượt tại \(A',B',C'\). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(\frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{S{B^2}}} + \frac{1}{{S{C^2}}}\).

Đáp án đúng là D

Phương pháp giải

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy.

Gọi \(G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\). Ta có:

\(3\overrightarrow {SG} = \overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} = \frac{{SA}}{{SA'}}\overrightarrow {SA'} + \frac{{SB}}{{SB'}}\overrightarrow {SB'} + \frac{{SC}}{{SC'}}\overrightarrow {SC'} \).

Mà \(G,A',A',C'\) đồng phẳng nên \(\frac{{SA}}{{SA'}} + \frac{{SB}}{{SB'}} + \frac{{SC}}{{SC'}} = 3 \Leftrightarrow \frac{a}{{SA'}} + \frac{b}{{SB'}} + \frac{c}{{SC'}} = 3\)

Theo bất đẳng thức Cauchy ta có:

\(\left( {\frac{1}{{S{{A'}^2}}} + \frac{1}{{S{{B'}^2}}} + \frac{1}{{S{{C'}^2}}}} \right)\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge {\left( {\frac{a}{{SA'}} + \frac{b}{{SB'}} + \frac{c}{{SC'}}} \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{{S{{A'}^2}}} + \frac{1}{{S{{B'}^2}}} + \frac{1}{{S{{C'}^2}}} \ge \frac{9}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}\)

Đẳng thức xảy ra khi: \(\frac{1}{{aSA'}} = \frac{1}{{bSB'}} = \frac{1}{{cSC'}}\), kết hợp với \(\frac{a}{{SA'}} + \frac{b}{{SB'}} + \frac{c}{{SC'}} = 3\) ta được

\(SA' = \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{3a}},SB' = \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{3b}},SC' = \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{3c}}\)

Vậy GTNN của \(\frac{1}{{S{{A'}^2}}} + \frac{1}{{S{{B'}^2}}} + \frac{1}{{S{{C'}^2}}}\) là \(\frac{9}{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}\).