Trong không gian \(Oxyz\), cho hai đường thẳng \({d_1}:\frac{x}{{ - 1}} = y - 3 = \frac{{z + 4}}{2}\) và \({d_2}:\frac{{x - 3}}{{ - 2}} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z - 4}}{{ - 1}}\) và mặt phẳng \(\left( \alpha \right): - x + 3y - 4z - 7 = 0\). Xác định phương trình đường thẳng vuông góc với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\), cắt \({d_1}\) và \({d_2}\) có phương trình là?

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Xác định tọa độ giao điểm của đường thẳng cần tìm và hai đường thẳng \({d_1}\) và \({d_2}\)

Lời giải

Ta có \(:{d_1}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - {t_1}}\\{y = 3}\\{z = - 4 + 2{t_1}}\end{array}} \right.\) và \({d_2}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 - 2{t_2}}\\{y = 2 + 3{t_2}}\\{z = 4 - {t_2}}\end{array}} \right.\)

Gọi đường thẳng cần tìm là \({\rm{\Delta }}\)

Giả sử đường thẳng \({\rm{\Delta }}\) cắt đường thẳng \({d_1}\) và \({d_1}\) lần lượt tại \(A\) và \(B\)

\( \Rightarrow A\left( { - {t_1};3; - 4 + 2{t_1}} \right),B\left( {3 - 2{t_2};2 + 3{t_2};4 - {t_2}} \right)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \left( {3 - 2{t_2} + {t_1};3{t_2} - 1;8 - {t_2} - 2{t_1}} \right)\)

Vecto pháp tuyến của \(\left( \alpha \right)\) là \(\vec n = \left( { - 1;3; - 4} \right)\)

Do \(\overrightarrow {AB} \) và \(\vec n\) cùng phương nên: \(\frac{{3 - 2{t_2} + {t_1}}}{{ - 1}} = \frac{{3{t_2} - 1}}{3} = \frac{{8 - {t_2} - 2{t_1}}}{{ - 4}}\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{3 - 2{t_2} + {t_1}}}{{ - 1}} = \frac{{3{t_2} - 1}}{3}}\\{\frac{{8 - {t_2} - 2{t_1}}}{{ - 4}} = \frac{{3{t_2} - 1}}{3}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3{t_1} - 3{t_2} = - 8}\\{ - 6{t_1} + 9{t_2} = - 20}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = \frac{{ - 44}}{3}}\\{{t_2} = - 12}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)

\( \Rightarrow A\left( {\frac{{44}}{3};3;\frac{{ - 100}}{3}} \right),B\left( {27; - 34;16} \right)\)

Phương trình đường thẳng \({\rm{\Delta }}\) đi qua \(B\left( {27; - 34;16} \right)\) và có vecto chỉ phương \(\vec n = \left( {37; - 111;148} \right)\) là: \(\frac{{x - 27}}{{37}} = \frac{{y + 34}}{{ - 111}} = \frac{{z - 16}}{{148}}\)