Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ \overrightarrow{u}=\left(1;-1;2\right),\overrightarrow{v}=\left(2;-1;-3\right). Tính độ dài của vectơ 3\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}.

Cho một bảng ô vuông 3\times 3 như hình vẽ. Điền ngẫu nhiên 9 số thuộc tập hợp X=\left\{0;1;2;3;4;5;6;7;8;9\right\} vào 9 ô vuông trong bảng (mỗi ô điền một số khác nhau). Gọi Y là biến cố “mỗi hàng, mỗi cột bất kì trong bảng đều có ít nhất một số lẻ”. Biết xác suất P\left(Y\right)=\frac{a}{b} (với a,b\in \mathbb{N} và \frac{a}{b} là phân số tối giản). Khi đó a+b bằng bao nhiêu?

Một xí nghiệp chế biến cà phê bán trong nước và xuất khẩu ra nước ngoài. Nếu giá sản xuất mỗi kg cà phê là $x$(USD) thì sản lượng xí nghiệp sản xuất được là $\left(2000x-150\right)$(kg) và lượng tiêu thụ trong nước là $\left(4000-500x\right)$(kg). Phần cà phê còn dư sẽ được xuất khẩu với giá cố định $10$(USD) mỗi kg. Biết rằng với mỗi kg cà phê xuất khẩu thì xí nghiệp phải chịu mức thuế là $0,5$(USD). Hỏi giá sản xuất mỗi kg cà phê của xí nghiệp là bao nhiêu để lợi nhuận thu được từ xuất khẩu là lớn nhất?

Trong không gian Oxyz, một vật được treo bằng sợi dây không dãn, mỗi sợi dây có một đầu lần lượt được gắn tại các điểm $A\left(-2;-1;0\right),B\left(2;-1;0\right),C\left(0;4;0\right)$, còn đầu dây kia được gắn với vật tại điểm $D\left(0;0;-4\right)$ như hình vẽ (trong đó mặt phẳng $\left(Oxy\right)$ song song với mặt đất, trục $Oz$ hướng thẳng lên trên). Biết rằng mỗi sợi dây được thiết kế để chịu được lực căng tối đa là $15N.$Để không dây nào bị đứt thì trọng lượng tối đa của vật là bao nhiêu Niutơn? (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần mười)

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thoi cạnh 3, \widehat{ABC}=60° và cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm $SB,SD$. Biết góc nhị diện $\left[M,AC,N\right]$ bằng $120°$, tính khoảng cách từ điểm $C$ đến mặt phẳng $\left(SBD\right)$. (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần trăm).

Để làm công tác cứu nạn ở một ngôi nhà ba tầng có một hàng rào cao 2,2 (m) song song và cách bức tường ngôi nhà một khoảng bằng 1,6 (m). Người ta dựng một cái thang thẳng có một đầu chạm đất, đầu kia chạm vào bức tường ngôi nhà và thân của thang chạm vào mép trên hàng rào (tham khảo hình vẽ). Chiều dài ngắn nhất của cái thang là bao nhiêu? (đơn vị là mét, làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần trăm, không làm tròn kết quả các phép tính trung gian)

Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho trước, trong đó xem mặt phẳng \left(Oxy\right) là mặt đất, mỗi đơn vị trên trục ứng với 1\text{k}\text{m}, một ra đa được đặt tại vị trí gốc toạ độ O phát hiện một máy bay chiến đấu di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm M\left(500;200;10\right) đến điểm N\left(300;800;10\right) trong 40 phút.

Cho hàm số $f\left(x\right)=a{x}^3+b{x}^2+cx+d\left(a\ne 0\right)$ có đồ thị như hình vẽ sau: