Đường tròn nội tiếp tam giác là đường tròn

Đáp án đúng là: D

Gọi số bé là \(a\) với \(a \in \mathbb{N}\).

Theo đề, số lớn hơn hai lần số bé là \(3\) nên số lớn là \(2a + 3\).

Hiệu bình phương của hai số bằng \(360\) nên ta có:

\({\left( {2a + 3} \right)^2} - {a^2} = 360\)

\(4{a^2} + 12a + 9 - {a^2} - 360 = 0\)

\(3{a^2} + 12a - 351 = 0\)

Xét \(\Delta = {12^2} - 4.3.\left( { - 351} \right) = 144 + 4212 = 4356\), do đó \(\sqrt \Delta = \sqrt {4356} = 66\).

Suy ra \({a_1} = \frac{{ - 12 - 66}}{6} = - 13\) và \({a_2} = \frac{{ - 12 + 66}}{6} = 9\).

Do \(a \in \mathbb{N}\) nên \(a = 9\).

Vậy số bé là \(9\).

Đáp án đúng là: C

Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có \(\widehat C = 45^\circ \) là góc nội tiếp chắn cung \(AB\).

Mà \(\widehat {ACB} = 45^\circ \) nên \(\widehat {AOB} = 90^\circ \) (góc ở tâm chắn cung \(AB\)).

Suy ra \(\Delta AOB\) vuông cân tại \(O\).

Theo định lí Pythagore, ta có: \(O{A^2} + O{B^2} = A{B^2}\) hay \(2O{A^2} = A{B^2}\),

Suy ra \(O{A^2} = \frac{{A{B^2}}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Vậy bán kính đường tròn là \(R = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Vậy chọn đáp án C.