Cho hai điểm $P(1;6), Q(-3;-4)$và đường thẳng $∆: 2x - y - 1 = 0$. Gọi $M\in ∆$ là điểm sao cho MP + MQ đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm tung độ của điểm M (nhập đáp án vào ô trống).

Đáp án:  ___

 

Đáp án đúng là "-1"

Phương pháp giải

Gọi \(P'\) là điểm đối xứng của \(P\) qua đường thẳng \({\rm{\Delta }}\).

\(MP + MQ\) đạt giá trị nhỏ nhất khi \(M,P',Q\) thẳng hàng.

Lời giải

Gọi \(P'\) là điểm đối xứng của \(P\) qua đường thẳng \({\rm{\Delta }}\).

Ta có vectơ pháp tuyến của đường thẳng \({\rm{\Delta }}\) là \(\overrightarrow {{n_{\rm{\Delta }}}}  = \left( {2; - 1} \right)\).

Suy ra vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(PP'\) là \(\overrightarrow {{n_{PP'}}}  = \left( {1;2} \right)\).

Phương trình \(PP':x - 1 + 2\left( {y - 6} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 2y - 13 = 0\).

Gọi \(I\) là giao điểm của \(PP'\) và \({\rm{\Delta }}\).

Tọa độ điểm \(I\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x - y - 1 = 0}\\{x + 2y - 13 = 0}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3}\\{y = 5}\end{array} \Rightarrow I\left( {3;5} \right)} \right.} \right.\).

Suy ra \(P'\left( {5;4} \right);\overrightarrow {QP'}  = \left( {8;8} \right)\)

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(QP'\) là \(\overrightarrow {{n_{QP'}}}  = \left( {1; - 1} \right)\).

Phương trình đường thẳng \(QP':x - 5 - \left( {y - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow x - y - 1 = 0\).

Ta có \(P,Q\) nằm về cùng phía của đường thẳng \({\rm{\Delta }}\) nên \(MP + MQ = MP' + MQ \ge QP'\).

Suy ra \(MP + MQ\) đạt giá trị nhỏ nhất khi \(M,P',Q\) thẳng hàng.

Hay \(M\) là giao điểm của \(QP'\) và \({\rm{\Delta }}\).

Tọa độ điểm \(M\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - y - 1 = 0}\\{2x - y - 1 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{y =  - 1.}\end{array}} \right.} \right.\)

Vậy tung độ điểm \(M\) là -1.