Tổng các nghiệm của phương trình \[\left( {x - 2} \right)\sqrt {2x + 7}  = {x^2} - 4\] bằng:

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Điều kiện xác định của phương trình \(2x + 7 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge  - \frac{7}{2}.\)

Ta có \[\left( {x - 2} \right)\sqrt {2x + 7}  = {x^2} - 4 \Leftrightarrow \,\,\left( {x - 2} \right)\sqrt {2x + 7}  = \left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)\]

\[ \Leftrightarrow \,\,\,\,\left( {x - 2} \right)\left[ {\sqrt {2x + 7}  - \left( {x + 2} \right)} \right] = 0 \Leftrightarrow \,\,\,\left[ \begin{array}{l}x - 2 = 0\\\sqrt {2x + 7}  - \left( {x + 2} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \,\,\,\left[ \begin{array}{l}x = 2\\\sqrt {2x + 7}  = x + 2 & \left( 1 \right)\end{array} \right..\]

Giải phương trình

\[\left( 1 \right) & :\sqrt {2x + 7}  = x + 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 2\\2x + 7 = {\left( {x + 2} \right)^2}\end{array} \right.\]\[\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 2\\{x^2} + 2x - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 2\\\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x =  - 3\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1.\]

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm \(x = 1,x = 2\) nên tổng hai nghiệm của phương trình là \(1 + 2 = 3.\)