Cho \(\Delta ABC\), điểm \(E\) nằm giữa \(B,\,C\) (\(AE\) không vuông góc với \(BC\)). Gọi \(H\) và \(K\) là chân các đường vuông góc kẻ từ \(B,\,\,C\) đến đường thẳng \(AE\).

Khi đó:

(i). \(BE > BH\).

(ii). \(CK < EC.\)

(iii). \(BC < BH + CK.\)

Hỏi trong các khẳng định trên, có bao nhiêu khẳng định sai?

Đáp án đúng là: A

Ta có \(AD\) là đường vuông góc kẻ từ điểm \(A\) đến đường thẳng \(BC\); \(AC\) là đường xiên kẻ từ điểm \(A\) đến đường thẳng \(BC\).

Suy ra \(AD < AC\) (do đường vuông góc ngắn hơn đường xiên) (1)

Ta có \(BE\) là đường vuông góc kẻ từ điểm \(B\) đến đường thẳng \(AC\); \(BC\) là đường xiên kẻ từ điểm \(A\) đến đường thẳng \(AC\).

Suy ra \(BE < BC\) (do đường vuông góc ngắn hơn đường xiên) (2)

Lấy (1) + (2), vế theo vế, ta được: \(AD + BE < AC + BC\).

Vậy ta chọn phương án A.

a) Đúng.

Ta có \(AH < AB\) và \(AH < AC\) (đường vuông góc ngắn hơn đường xiên)

Cộng theo vế suy ra \(2AH < AB + AC\) (1)

Lại có \(AH < AB\) và \(CH < AC\) (đường vuông góc ngắn hơn đường xiên)

Suy ra \(CH + BH < AB + AC\).

Khi đó \(BC < AB + AC\) (2)

b) Đúng.

Lấy (1) + (2) vế theo vế, ta được \(2AH + BC < 2AB + 2AC\).

Suy ra \(AH + \frac{{BC}}{2} < AB + AC\) (*)

c) Sai.

Do \(BA = BE\) nên tam giác \(ABE\) cân tại \(B.\)

Suy ra \(\widehat {BAE} = \widehat {BEA}\).

Lại có \(\widehat {BAE} = \widehat {AEF}\) (do cùng phụ với \(\widehat {EAF}\))

Suy ra \(\widehat {AEF} = \widehat {BEA}\).

Xét \(\Delta AHE\) và \(\Delta AFE\), có:

\(AE\) là cạnh chung.

\(\widehat {AEF} = \widehat {BEA}\) (chứng minh trên)

\(\widehat {AHE} = \widehat {AFE} = 90^\circ \).

Do đó \(\Delta AHE = \Delta AFE\) (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra \(AH = AF\) (cặp cạnh tương ứng)

Ta có \(CF < EC\) (đường vuông góc ngắn hơn đường xiên).

Ta có \(BC + AH = BE + EC + AH = BA + EC + AC\).

Suy ra \(BC + AH > BA + CF + AF\) hay \(BC + AH > AC + AB\).

d) Sai.

Từ (*), (**), ta suy ra \(AH + \frac{{BC}}{2} < AB + AC < BC + AH\).