Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho điểm \(A(5;0)\) và đường thẳng \(\Delta :12x - 5y + 5 = 0\). Tính khoảng cách từ \(A\) đến đường thẳng \(\Delta \).

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) Đ, c) S, d) S

a) Vì \(AH \bot BC\) nên \(\overrightarrow {BC} \) là một vectơ pháp tuyến của đường cao \(AH\).

b) Ta có \(\overrightarrow {BC}  = \left( {4;4} \right) = 4\left( {1;1} \right)\).

Đường cao \(AH\) đi qua \(A\left( {1;1} \right)\) và nhận \(\overrightarrow n  = \left( {1;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là \(\left( {x - 1} \right) + \left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y - 2 = 0\).

c) Đường thẳng \(BC\) đi qua \(B\left( {0; - 2} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {BC} \) nên sẽ nhận \(\overrightarrow n  = \left( { - 1;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là \( - x + \left( {y + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow  - x + y + 2 = 0\).

d) \(H\) là giao điểm của \(AH\) và \(BC\) nên tọa độ điểm \(H\) là nghiệm của hệ

\(\left\{ \begin{array}{l}x + y - 2 = 0\\x - y - 2 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 0\end{array} \right.\). Vậy tọa độ điểm \(H\left( {2;0} \right)\).

Hướng dẫn giải

a) S, b) Đ, c) Đ, d) S

a) Vì \(MN//AB\) nên \(AB\) nhận \(\overrightarrow {MN}  = \left( {4;3} \right)\) làm một vectơ chỉ phương.

b) Đường trung trực của \(AB\) đi qua điểm \(P\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {MN}  = \left( {4;3} \right)\) có phương trình là \(4\left( {x - 5} \right) + 3\left( {y - 6} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 4x + 3y - 38 = 0\)\(y = \frac{{ - 4}}{3}x + \frac{{38}}{3} = 0\).

Suy ra đường trung trực đoạn thẳng \(AB\) có hệ số góc là \(k =  - \frac{4}{3}\).

c) Giả sử đường thẳng \(\Delta \) cắt trục \(Ox,Oy\) lần lượt tại \(E\left( {a;0} \right),F\left( {0;b} \right)\) có phương trình là \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\).

Đường thẳng \[\Delta \] đi qua \(M\) nên \(\frac{{ - 1}}{a} + \frac{1}{b} = 1\).

Ta có \(\left( {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {1^2}} \right)\left( {\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}}} \right) \ge {\left( {\frac{{ - 1}}{a} + \frac{1}{b}} \right)^2} = 1 \Rightarrow \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} \ge \frac{1}{2}\).

Dấu “=” xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}b =  - a\\\frac{{ - 1}}{a} + \frac{1}{b} = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 2\\b = 2\end{array} \right.\).

Vậy đường thẳng cần lập có dạng \(\frac{x}{{ - 2}} + \frac{y}{2} = 1\).

d) Đường thẳng \(AB\) đi qua điểm \(P\left( {5;6} \right)\)nhận \(\overrightarrow {MN}  = \left( {4;3} \right)\) làm một vectơ chỉ phương nên có vectơ pháp tuyến là \[\overrightarrow {{n_1}}  = \left( { - 3;4} \right)\] có phương trình là: \( - 3\left( {x - 5} \right) + 4\left( {y - 6} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow  - 3x + 4y - 9 = 0\).

Đường thẳng \(AC\) đi qua \(N\left( {3;4} \right)\) nhận \(\overrightarrow {MP}  = \left( {6;5} \right)\) làm một vectơ chỉ phương nên có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( { - 5;6} \right)\) có phương trình là \( - 5\left( {x - 3} \right) + 6\left( {y - 4} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow  - 5x + 6y - 9 = 0\).

Tọa độ điểm \(A\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l} - 3x + 4y - 9 = 0\\ - 5x + 6y - 9 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 9\\y = 9\end{array} \right.\). Suy ra \(A\left( {9;9} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {AM}  = \left( { - 10; - 8} \right)\). Suy ra đường trung tuyến \(AM\) có một vectơ chỉ phương \(\left( {5;4} \right)\).