Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thoi tâm \(O\) cạnh \(a,\) $\widehat{BAD}={135}^{°}.$ Biết \(SA = 2a\) và tạo với mặt phẳng đáy một góc ${60}^{°}.$ Gọi \(I\) là trung điểm của \(SO,\) \(\left( P \right)\) là mặt phẳng đi qua \(BI\) và song song với cạnh \(AC,\) \(\left( P \right)\) chia hình chóp \(S.ABCD\) thành hai phần. Biết thể tích của phần nhỏ hơn là \(\frac{{{a^3}\sqrt m }}{n},\) với \(m,n \in {\mathbb{N}^*};m + n < 60.\) Tính giá trị của biểu thức \(T = \frac{n}{{{m^2}}}.\)(nhập đáp án vào ô trống).

Đáp án:  __

Giải chi tiết:

Mặt phẳng \(\left( P \right)\) cắt \(SA,SC,SD\) lần lượt tại \(M,N,P.\)

Do \((P)\parallel AC \Rightarrow MN\parallel AC\)mà \(I\) là trung điểm của \(SO\) nên \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(SA,SC.\)

Gọi \(K\) là trung điểm \(P.\)

Xét tam giác \(BPD\) có \(O,K\) lần lượt là trung điểm \(DB,DP\) nên \(OK\parallel BP.\)

Xét tam giác \(SOK\) có I là trung điểm SO, mà \(IP\parallel OK\)nên \(P\) là trung điểm \(SK \Rightarrow SP = PK = KO.\)

Có \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{{V_{SBNP}}}}{{{V_{SBCD}}}} = \frac{{SB}}{{SB}} \cdot \frac{{SN}}{{SC}} \cdot \frac{{SP}}{{SD}} = 1 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}}\\{\frac{{{V_{SBMP}}}}{{{V_{SBAD}}}} = \frac{{SB}}{{SB}} \cdot \frac{{SM}}{{SA}} \cdot \frac{{SP}}{{SD}} = 1 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}}\end{array}} \right. \Rightarrow \frac{{{V_{SBNPM}}}}{{{V_{SABCD}}}} = \frac{1}{6}\]

Chiều cao của hình chóp:

$h=SA\cdot \sin (SA,(ABCD\left)\right)=2a\cdot \sin {60}^{°}=a\sqrt{3}$

$\Rightarrow V_{SABCD}=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}\cdot h=\frac{1}{3}\cdot a\cdot a\cdot \sin {135}^{°}\cdot a\sqrt{3}=\frac{a^3\sqrt{6}}{6}$

\( \Rightarrow {V_{SBNPM}} = \frac{{{V_{SABCD}}}}{6} = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{36}} \Rightarrow \frac{n}{{{m^2}}} = \frac{{36}}{{{6^2}}} = 1\)

Đáp án: \(1.\)