Lớp 10A có 35 học sinh, mỗi học sinh đều giỏi ít nhất một trong hai môn Toán hoặc Văn. Biết rằng có 23 học sinh giỏi môn Toán và 20 học sinh giỏi môn Văn. Chọn ngẫu nhiên một học sinh của lớp 10A.

a) Đ, b) S, c) Đ, d) Đ

a) Chọn 2 sản phẩm tốt từ 13 sản phẩm tốt trong hộp loại I là \(C_{13}^2 = 78\) cách.

b) Số cách chọn 2 phế phẩm từ 4 phế phẩm trong hộp loại II là \(C_4^2 = 6\) cách.

Tổng số cách chọn 2 sản phẩm từ 10 sản phẩm (6 tốt và 4 phế phẩm) trong hộp II là \(C_{10}^2 = 45\) cách.

Vậy xác suất chọn được 2 phế phẩm là \(\frac{6}{{45}} = \frac{2}{{15}}.\)

c) Gọi \(A\): “Chọn được trong thùng một hộp loại I”.

Và \(B\): “Chọn được trong thùng một hộp loại II”.

Xác suất chọn hộp loại I là \(P\left( A \right) = \frac{2}{5}\) và xác suất chọn hộp loại II là \(P\left( B \right) = \frac{3}{5}.\)

Gọi \(C\) là biến cố “Cả 2 sản phẩm lấy ra đều tốt”.

Xác suất lấy được 2 sản phẩm tốt từ hộp loại I là \(P\left( {C\left| A \right.} \right) = \frac{{C_{13}^2}}{{C_{15}^2}} = \frac{{26}}{{35}}.\)

Xác suất lấy được 2 sản phẩm tốt từ hộp II là \(P\left( {C\left| B \right.} \right) = \frac{{C_6^2}}{{C_{10}^2}} = \frac{1}{3}.\)

Vậy xác suất hai sản phẩm lấy ra từ một hộp trong thùng đều tốt là

\(P\left( C \right) = P\left( {C\left| A \right.} \right).P\left( A \right) + P\left( {C\left| B \right.} \right).P\left( B \right) = \frac{{26}}{{35}}.\frac{2}{5} + \frac{1}{3}.\frac{3}{5} = \frac{{87}}{{175}}.\)

d) Xác suất lấy ra hai sản phẩm đều tốt thuộc hộp loại I là

Công thức Bayes: \(P\left( {A\left| C \right.} \right) = \frac{{P\left( {C\left| A \right.} \right).P\left( A \right)}}{{P\left( C \right)}} = \frac{{\frac{{26}}{{35}}.\frac{2}{5}}}{{\frac{{87}}{{125}}}} = \frac{{52}}{{87}}.\)

Gọi biến cố A: “Chi tiết lấy từ dây chuyền đạt tiêu chuẩn”.

Biến cố B: “Chi tiết do máy thứ nhất sản xuất”.

Biến cố \(\overline B \): “Chi tiết do máy thứ hai sản xuất”.

Ta cần tính xác suất \(P\left( {B|A} \right)\).

Theo đề ta có \(P\left( B \right) = 0,65;P\left( {\overline B } \right) = 0,35;P\left( {A|B} \right) = 0,8;P\left( {A|\overline B } \right) = 0,85\).

Suy ra \[P\left( {B|A} \right) = \frac{{P\left( B \right).P\left( {A|B} \right)}}{{P\left( B \right).P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline B } \right).P\left( {A|\overline B } \right)}} = \frac{{0,65.0,8}}{{0,65.0,8 + 0,35.0,85}} = \frac{{208}}{{327}}\].