Một lô sản phẩm có \(30\) sản phẩm, trong đó có \(4\) sản phẩm chất lượng thấp. Lấy liên tiếp hai sản phẩm trong lô sản phẩm trên, trong đó sản phẩm lấy ra ở lần thứ nhất không được bỏ lại vào lô sản phẩm. Tính xác suất để cả hai sản phẩm được lấy ra đều có chất lượng thấp.    

Đáp án đúng là: D

Xét các biến cố:

\(A:\) "Khách hàng chọn được bóng đèn Led màu trắng";

\(B:\) "Khách hàng chọn được bóng đèn Led không hỏng".

Ta có: \(P\left( A \right) = 0,65;\;\;P\left( {\bar A} \right) = 0,35;\;\;P\left( {B\mid A} \right) = 1 - P\left( {\bar B\mid A} \right) = 1 - 0,02 = 0,98\);

\(P\left( {B\mid \bar A} \right) = 1 - P\left( {\bar B\mid \bar A} \right) = 1 - 0,03 = 0,97\).

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

\(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B\mid A} \right) + P\left( {\bar A} \right).P\left( {B\mid \bar A} \right) = 0,65.0,98 + 0,35.0,97 = 0,9765\).

Đáp án đúng là: C

Gọi \({A_1},\;{A_2},\;{A_3}\) lần lượt là các biến cố gọi một sinh viên Giỏi, Khá, Trung Bình

Nên \({A_1},\;{A_2},\;{A_3}\) là hệ biến cố đầy đủ

Gọi \(B\) “ Sinh viên đó trả lời được \(4\) câu hỏi”

Ta có: \(P\left( {{A_1}} \right) = \frac{{C_2^1}}{{C_{10}^1}} = \frac{1}{5}\); \(P\left( {{A_2}} \right) = \frac{{C_3^1}}{{C_{10}^1}} = \frac{3}{{10}}\); \(P\left( {{A_3}} \right) = \frac{{C_5^1}}{{C_{10}^1}} = \frac{1}{2}\)

Ta lại có:

\(2\) sinh viên Giỏi (trả lời \(100\% \) các câu hỏi)\( \Rightarrow \) Trả lời \(20\) câu hỏi

\(3\) sinh viên Khá (trả lời \(80\% \) các câu hỏi) \( \Rightarrow \) Trả lời \(20.80\% = 16\) câu hỏi.

\(5\) sinh viên Trung Bình (trả lời \(50\% \) các câu hỏi) \( \Rightarrow \) Trả lời \(20.50\% = 10\) câu hỏi.

Từ đó \(P\left( {B|{A_1}} \right) = \frac{{C_{20}^4}}{{C_{20}^4}} = 1\), \(P\left( {B|{A_2}} \right) = \frac{{C_{16}^4}}{{C_{20}^4}} = \frac{{364}}{{969}}\), \(P\left( {B|{A_3}} \right) = \frac{{C_{10}^4}}{{C_{20}^4}} = \frac{{14}}{{323}}\)

Áp dụng công thức xác suất toàn phần

\(P\left( B \right) = P\left( {B|{A_1}} \right).P\left( {{A_1}} \right) + P\left( {B|{A_2}} \right).P\left( {{A_2}} \right) + P\left( {B|{A_3}} \right).P\left( {{A_3}} \right)\)

\( = 1.\frac{1}{5} + \frac{{364}}{{969}}.\frac{3}{{10}} + \frac{{14}}{{323}}.\frac{1}{2} = \frac{{108}}{{323}}\)

Xác suất để sinh viên đó là sinh viên khá là \(P\left( {{A_2}|B} \right)\)

Áp dụng công thức Bayes \(P\left( {{A_2}|B} \right) = \frac{{P\left( {B|{A_2}} \right).P\left( {{A_2}} \right)}}{{P\left( B \right)}}\)\(\frac{{\frac{{364}}{{969}}.\frac{3}{{10}}}}{{\frac{{108}}{{323}}}} = \frac{{91}}{{270}} \approx 0,337\).