Trong không gian \(Oxyz\), một cabin cáp treo ở Bà Nà Hill xuất phát từ điểm \(A\left( { - 2;1;5} \right)\) và chuyển động đều theo đường cáp có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {0; - 2;6} \right)\) với tốc độ là \(4{\rm{m/s}}\) (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét). Giả sử sau 5 (s) kể từ lúc xuất phát, cabin đến điểm \(M\). Gọi tọa độ \(M\left( {a;b;c} \right)\). Tính \(a + 3b + c\).

Đáp án đúng là: D

Gọi \(A\left( {a;0;0} \right),\,B\left( {0;a;0} \right),\,C\left( {0;0;a} \right)\)\[\left( {a \ne 0} \right)\]là giao điểm của mặt phẳng\(\left( \alpha \right)\)và các tia \(Ox,\)\(Oy,\)\(Oz\).

Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\)qua A, B, C là: \(\frac{x}{a} + \frac{y}{a} + \frac{z}{a} = 1\).

Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) qua điểm \(M\left( {5;4;3} \right) \Rightarrow a = 12\)

Ta có \(\frac{x}{{12}} + \frac{y}{{12}} + \frac{z}{{12}} = 1 \Leftrightarrow x + y + z - 12 = 0\).

Đáp án đúng là: B

Ta có, \[\left( Q \right)\]song song \[\left( P \right)\]nên phương trình mặt phẳng \[\left( Q \right):2x - 2y + z + C = 0\]; \[C \ne - 5\]

Chọn \[M\left( {0\,;\,0\,;\,5} \right) \in \left( P \right)\]

Ta có \[d\left( {\left( P \right)\,,\,\left( Q \right)} \right) = d\left( {M\,,\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {5 + C} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2}} }} = 3\]\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}C = 4\\C = - 14\end{array} \right.\]

\[C = 4 \Rightarrow \left( Q \right):2x - 2y + z + 4 = 0\] khi đó \[\left( Q \right)\] cắt \[Ox\] tại điểm \[{M_1}\left( { - 2\,;\,0\,;\,0} \right)\]có hoành độ âm nên trường hợp này \[\left( Q \right)\] không thỏa đề bài.

\[C = - 14 \Rightarrow \left( Q \right):2x - 2y + z - 14 = 0\] khi đó \[\left( Q \right)\]cắt \[Ox\] tại điểm \[{M_2}\left( {7\,;\,0\,;\,0} \right)\]có hoành độ dương do đó \[\left( Q \right):2x - 2y + z - 14 = 0\] thỏa đề bài.

Vậy phương trình mặt phẳng \[\left( Q \right):2x - 2y + z - 14 = 0\].