Trong không gian \(Oxyz\) (đơn vị trên mỗi trục là mét), một ngọn hải đăng (xem hình vẽ) được đặt ở vị trí \(I\left( {25;30;50} \right)\). Mặt cầu \(\left( S \right)\) mô tả ranh giới của vùng phủ sáng trên biển của hải đăng, biết rằng ngọn hải đăng đó được thiết kế với bán kính phủ sáng \(R = 5\;{\rm{km}}\).

a) Viết phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\).

b) Chứng minh rằng điểm \(A\left( {1025;30;50} \right)\) nằm bên trong mặt cầu \(\left( S \right)\).

c) Một người đi biển ở vị trí \(M\left( {45;60;50} \right)\) có được chiếu sáng bởi sánh sáng của ngọn hải đăng không?

a) Đổi \(5\;{\rm{km }} = {\rm{ }}5000{\rm{ m}}\).

Phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\): \({\left( {x - 25} \right)^2} + {\left( {y - 30} \right)^2} + {\left( {z - 50} \right)^2} = {5000^2}\).

b) Có \(IA = \sqrt {{{\left( {1025 - 25} \right)}^2} + {{\left( {30 - 30} \right)}^2} + {{\left( {50 - 50} \right)}^2}} = 1000 < 5000 = R\).

Do đó điểm \(A\) nằm trong mặt cầu \(\left( S \right)\).

c) Ta có \(IM = \sqrt {{{\left( {45 - 25} \right)}^2} + {{\left( {60 - 30} \right)}^2} + {{\left( {50 - 50} \right)}^2}} = \sqrt {1300} < 5000 = R\).

Suy ra điểm \(M\) nằm trong mặt cầu \(\left( S \right)\). Do đó một người đi biển ở vị trí \(M\left( {45;60;50} \right)\) có thể được chiếu sáng bởi sánh sáng của ngọn hải đăng.