Cho đường tròn \[\left( O \right)\] đường kính \[AB.\] Gọi \[H\] là điểm nằm giữa \[O\] và \[B.\] Kẻ dây \[CD\] vuông góc với \[AB\] tại \[H.\] Trên cung nhỏ \[AC\] lấy điểm \[E\] bất kỳ \[\left( E \right.\] khác \[A\] và \[\left. C \right).\] Kẻ \[CK\] vuông góc với \[AE\] tại \[K.\] Đường thẳng \[DE\] cắt \[CK\] tại \[F.\]
a) Chứng minh tứ giác \[AHCK\] là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh \[KH\] song song với \[ED\] và tam giác \[ACF\] là tam giác cân.
c) Tìm vị trí của điểm \[E\] để diện tích tam giác \[ADF\] lớn nhất.
Cho đường tròn \[\left( O \right)\] đường kính \[AB.\] Gọi \[H\] là điểm nằm giữa \[O\] và \[B.\] Kẻ dây \[CD\] vuông góc với \[AB\] tại \[H.\] Trên cung nhỏ \[AC\] lấy điểm \[E\] bất kỳ \[\left( E \right.\] khác \[A\] và \[\left. C \right).\] Kẻ \[CK\] vuông góc với \[AE\] tại \[K.\] Đường thẳng \[DE\] cắt \[CK\] tại \[F.\]
a) Chứng minh tứ giác \[AHCK\] là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh \[KH\] song song với \[ED\] và tam giác \[ACF\] là tam giác cân.
c) Tìm vị trí của điểm \[E\] để diện tích tam giác \[ADF\] lớn nhất.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Hướng dẫn giải
a) Vì \(CK \bot AK\) nên \(\widehat {AKC} = 90^\circ .\) Vì \(CH \bot AB\) tại \[H\] nên \(\widehat {AHC} = 90^\circ .\)
Gọi \(I\)là trung điểm \(AC\).
\(\Delta AKC\)có \(KI\) là trung tuyến ứng với cạnh huyền \(AC\) nên \(KI = OA = OC = \frac{1}{2}AC.\)
\(\Delta AHC\) có \(HI\) là trung tuyến ứng với cạnh huyền\(AC\) nên \(HI = IA = IC = \frac{1}{2}AC.\)
Do đó \(IA = IK = IC = IH.\)
Vậy bốn điểm \(A,\,\,H,\,\,C,\,\,K\) cùng nằm trên cùng một đường tròn tâm \(I\) hay tứ giác \[AHCK\] nội tiếp.
b) Vì \[AHCK\] là tứ giác nội tiếp nên \(\widehat {CHK} = \widehat {CAK} = \widehat {CAE}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung \[KC).\]
Lại có \[ADCE\]nội tiếp nên \(\widehat {CAE} = \widehat {CDE}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung \[EC).\]
Từ đó suy ra \(\widehat {CHK} = \widehat {CDE}\) nên \(HK\,{\rm{//}}\,DE\) (đpcm).
Do \(HK\,{\rm{//}}\,DE\), mà \[H\] là trung điểm \[CD\] (quan hệ vuông góc của đường kính \[AB\] với dây \[CD\] tại \[H).\]
Suy ra \[HK\] là đường trung bình của tam giác \[CDF\] nên \[K\] là trung điểm \[FC\].
Tam giác \[AFC\] có \[AK\] là đường cao đồng thời cũng là trung tuyến.
Do đó tam giác \[CAF\]là tam giác cân tại \[K\] (đpcm).
c) Tam giác \[FAC\] cân tại \[A\] nên \[AF = AC.\]
Dễ thấy tam giác \[ACD\] cân tại \[A\] nên \[AC = AD\].
Từ đó suy ra \[AF = AD\] hay tam giác \[AFD\] cân tại \[A\], hạ \[DI \bot AF\] .
Ta có \({S_{AFD}} = \frac{1}{2}DI \cdot AF = \frac{1}{2}DI \cdot AC\).
Do \[AC\] không đổi nên \({S_{AFD}}\) lớn nhất khi và chỉ khi \[DI\] lớn nhất.
Trong tam giác vuông \[AID\] ta có:
\(ID \le AD = AC\) hay \({S_{AFD}} = \frac{1}{2}DI \cdot AF = \frac{1}{2}DI \cdot AC \le \frac{{A{C^2}}}{2}\).
Dấu xảy ra khi và chỉ khi \(I \equiv A\), khi đó \[\widehat {DAF} = 90^\circ \] nên tam giác \[ADF\] vuông cân tại \[A\], suy ra \(\widehat {EBA} = \widehat {EDA} = 45^\circ \) hay \[E\] là điểm chính giữa cung \[AB.\]
Vậy để diện tích tam giác \[ADF\] lớn nhất thì \[E\] là điểm chính giữa cung \[AB.\]
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
Các sản phẩm khác của Vietjack:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Hướng dẫn giải
Đáp số: \(0,5\).
Không gian mẫu của phép thử là:
\[\Omega = \left\{ {\left( {1\,;\,\,4} \right)\,;\,\,\left( {1\,;\,\,7} \right)\,;\,\,\left( {1\,;\,\,9} \right)\,;\,\,\left( {4\,;\,\,1} \right)\,;\,\left( {4\,;\,\,7} \right)\,;\,\left( {4\,;\,\,9} \right)\,;\,\left( {7\,;\,\,1} \right)\,;\,\left( {7\,;\,\,4} \right)\,;\,\left( {7\,;\,\,9} \right)\,;\,\left( {9\,;\,\,1} \right)\,;\,\left( {9\,;\,\,4} \right)\,;\,\left( {9\,;\,\,7} \right)} \right\}\].
Tập có 12 phần tử.
Vì bạn Khuê và Hương lần lượt mỗi người lấy ra ngẫu nhiên một tấm thẻ từ hộp nên các kết quả có thể trên là đồng khả năng.
Xét biến cố \(A:\) “Số ghi trên tấm thẻ của bạn Khuê nhỏ hơn số ghi trên tấm thẻ của bạn Hương”.
Có 6 kết quả thuận lợi cho biến cố là \[\Omega = \left\{ {\left( {1\,;\,\,4} \right)\,;\,\,\left( {1\,;\,\,7} \right)\,;\,\,\left( {1\,;\,\,9} \right)\,;\,\left( {4\,;\,\,7} \right)\,;\,\left( {4\,;\,\,9} \right);\,\,\left( {7\,;\,\,9} \right)} \right\}\].
Vậy xác suất của biến cố \(A\) là: \(\frac{6}{{12}} = \frac{1}{2} = 0,5.\)
Lời giải
Hướng dẫn giải
Đáp số: 30.
Gọi vận tốc của xe tải là \(x\,\,({\rm{km/h}})\,\,\,\left( {x > 0} \right).\)
Khi đó, vận tốc của xe khách là \(x\, + \,10\,\,({\rm{km/h}}).\)
Thời gian đi hết quãng đường của xe tải là \(\frac{{132}}{x}\) (giờ) và của xe khách là \(\frac{{132}}{{x + 10}}\) (giờ).
Đổi 1 giờ 6 phút \( = \,\frac{{11}}{{10}}\) giờ.
Vì xe khách đi nhanh hơn xe tải 1 giờ 6 phút nên ta có phương trình:
\(\frac{{132}}{x} - \frac{{132}}{{x + 10}} = \frac{{11}}{{10}}\)
\(\frac{{12}}{x} - \frac{{12}}{{x + 10}} = \frac{1}{{10}}\)
\(120\left( {x + 10} \right) - 120x = x\left( {x + 10} \right)\)
\(120x + 1200 - 120x = {x^2} + 10x\)
\[{x^2} + 10x - 1200 = 0\]
\(x = 30\) (TMĐK) hoặc \[{\rm{\;}}x = - 40\] (loại).
Vậy vận tốc của xe tải là \(30\,\,{\rm{km/h}}{\rm{.}}\)
Câu 3
a) Diện tích xung quanh của hình nón có bán kính đáy \(R\) và đường sinh \(l,\) được tính bằng công thức: \({S_{xq}} = \pi \cdot {R^2} \cdot l.\)
Đúng
Sai
b) Độ dài đường sinh là \[l = 5\sqrt 3 \,\,{\rm{cm}}\,.\]
Đúng
Sai
c) Diện tích xung quanh của hộp đựng bắp rang bơ là \[\frac{{1125\sqrt 3 }}{4}\pi \,\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}.\]
Đúng
Sai
d) Bạn An nên mua bắp rang bơ ở quầy B để có lợi hơn.
Đúng
Sai
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
A. \(\left( {1\,;\,\,\frac{1}{2}} \right)\).
B. \(\left( {1\,;\,\,2} \right)\).
C. \(\left( {\frac{1}{2}\,;\,\,\,1} \right)\).
D. \(\left( {2\,;\,\,\,1} \right)\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập