Trong một kỳ thi học sinh giỏi Toán (thang điểm 20) của 50 học sinh, kết quả được cho bởi biểu đồ sau:

Tần số của nhóm thí sinh có điểm thi thấp nhất là

 

Hướng dẫn giải

Đáp số: 215.

Gọi số sản phẩm phân xưởng cần sản xuất mỗi ngày theo kế hoạch là \[x\] (sản phẩm) \[\left( {x \in \mathbb{N};\,\,x > 0} \right)\].

Thời gian sản xuất theo kế hoạch là \[\frac{{1505}}{x}\] (ngày)

Thực tế mỗi ngày phân xưởng sản được số sản phẩm là: \[x + 86\] (sản phẩm)

Thời gian sản xuất thực tế là \[\frac{{1505}}{{x + 86}}\] (ngày)

Vì phân xưởng đó đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định là 2 ngày nên ta có phương trình: \[\frac{{1505}}{x} - \frac{{1505}}{{x + 86}} = 2\]

\[\frac{{1505\left( {x + 86} \right)}}{{x\left( {x + 86} \right)}} - \frac{{1505x}}{{x\left( {x + 86} \right)}} = \frac{{2x\left( {x + 86} \right)}}{{x\left( {x + 86} \right)}}\]

\[1505\left( {x + 86} \right) - 1505x = 2x\left( {x + 86} \right)\]

\[2{x^2} + 172x - 129\,\,430 = 0\]

\[{x^2} + 86x - 64\,\,715 = 0\]

\[x = 215\] (TMĐK) và \[x = - 301\] (loại).

Vậy số sản phẩm phân xưởng cần sản xuất mỗi ngày theo kế hoạch là \[215\] sản phẩm.

Hướng dẫn giải

Suy ra \(\widehat {OHM} = 90^\circ \) nên \(H\) thuộc đường tròn đường kính \(OM\).

Vậy \(M,\,\,D,\,\,O,\,\,H\) cùng nằm trên đường tròn đường kính \(OM\).

b) Vì \(MC,\,\,MD\) là tiếp tuyến của \(\left( {O\,;\,\,R} \right)\)\(\left( {C,\,\,\,D} \right.\) là hai tiếp điểm) nên \(MO\) là tia phân giác của \(\widehat {CMD}\) và \(OM\) là tia phân giác của \(\widehat {COD}.\)

Mặt khác, \(\widehat {MCI} = \widehat {CDI}\) (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn ).

và \(\widehat {CDI} = \widehat {DCI}\) (tam giác \(CDI\) cân tại \[I\,)\].

Suy ra \[\widehat {MCI} = \widehat {DCI}\] nên \[CI\] là tia phân giác của \(\widehat {MCD}\).

Ta có \(I\) là giao điểm hai đường phân giác trong của tam giác \(MCD\) nên \(I\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \(MCD.\)

c) Ta có \({S_{MPQ}} = 2{S_{MPO}} = MP \cdot OC = \left( {MC + CP} \right) \cdot R\).

Mà \(MC + CP \ge 2\sqrt {MC.CP} = 2\sqrt {O{C^2}} = 2R\) nên \({S_{MPQ}} \ge 2{R^2}\).

Dấu xảy ra khi \(MC = CP = R\) hay \(OM = R\sqrt 2 \).

Vậy để diện tích tam giác \(MPQ\) nhỏ nhất thì \(M\) là giao điểm của \(\left( {O\,;\,\,R\sqrt 2 } \right)\) và đường thẳng \(d.\)