Một chiếc hộp chứa \(1\) viên bi xanh, \(1\) viên bi đỏ và \(1\) viên bi trắng. Các viên bi có cùng kích thước và khối lượng. Dung lần lượt lấy ra ngẫu nhiên từng viên bi từ trong hộp cho đến khi hết bi.

Xác suất của các biến cố \(A\): “Viên bi màu xanh được lấy ra cuối cùng” là

Đáp án: a) Đ. b) S. c) Đ. d) S.

• Trong tam giác vuông \(BOA\) có \(BI\) là đường trung tuyến nên OI = AI = BI.  (1)

Trong tam giác vuông \(COA\) có \(CI\) là đường trung tuyến nên OI = AI = CI. (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(OI = AI = BI = CI\) nên bốn điểm \[C,\,\,O,\,\,B,\,\,A\;\] nằm trên đường tròn đường kính \(OA\) hay tứ giác \(ABOC\) nội tiếp. Do đó ý a) là đúng.

• Vì tứ giác \(ABOC\) nội tiếp nên \(I\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(ABOC\). Do đó ý b) là sai.

• Vì \(\widehat {AHO} = 90^\circ \) nên \(H\) thuộc đường tròn \((I)\)

Theo tính chất tiếp tuyến giao nhau thì \(AB = AC\) nên .

Ta có \(\widehat {AHB} = \widehat {AHC}\) (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau).

Suy ra \(HA\) là phân giác góc \(\widehat {BHC}\). Do đó ý c) là đúng.

• Xét tam giác \(\Delta ACD\) và \(\Delta AEC\) có \[\widehat {CAD} = \widehat {EAC}\] (chung);

Do đó \(\Delta ACD\)\(\Delta AEC\) (g.g). Suy ra \(\frac{{AC}}{{AE}} = \frac{{AD}}{{AC}}\) hay \(A{C^2} = AD \cdot AE\). (1)

Xét tam giác \(\Delta ACK\) và \(\Delta AHC\) có \[\widehat {CAK} = \widehat {HAC}\] (chung); \[\widehat {ACK} = \widehat {CHA}\,\,\,( = \widehat {AHB}\,)\]

Do đó \(\Delta ACK\)\(\Delta AHC\) (g.g). Suy ra \(\frac{{AC}}{{AH}} = \frac{{AK}}{{AC}}\) hay \(A{C^2} = AH \cdot AK\). (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(AD \cdot AE = AK \cdot AH = \frac{1}{2}AK\left( {AH + AH} \right)\)

Khi đó \(AD \cdot AE = \frac{1}{2}AK\left( {AD + DH + AE - EH} \right)\)

\(2AD \cdot AE = AK\left( {AD + AE} \right)\)

\(\frac{2}{{AK}} = \frac{1}{{AD}} + \frac{1}{{AE}}\). Do đó ý d) là sai.

Vậy: a) Đ. b) S. c) Đ. d) S.

Đáp án: a) S. b) Đ. c) Đ. d) S.

Ta có bảng sau:

\[\Omega = \left\{ {\left( {1,\,\,1} \right)\,;\,\,\left( {1,\,2} \right)\,;\,\,\left( {1,\,3} \right)\,;\,\,\left( {2,\,1} \right)\,;\,\,\left( {2,\,\,2} \right);\left( {2,\,3} \right);\left( {3,\,1} \right);\left( {3,\,2} \right);\left( {3,\,3} \right)\,;\,\,\left( {4,\,1} \right)\,;\,\,\left( {4,\,2} \right)\,;\,\,\left( {4,\,3} \right)\,;\,\,\left( {5,\,1} \right)\,;\,\,\left( {5,\,2} \right)\,;\,\,\left( {5,\,3} \right)} \right\}.\]

⦁ Số phần tử của \(\Omega \) là \(15\). Do đó ý a) là sai.

Tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố \[E\] là: \[E = \left\{ {\left( {3\,,\,2} \right)\,;\,\,\left( {2\,.\,3} \right)} \right\}.\]

Suy ra có 2 kết quả thuận lợi cho biến cố \[E\]. Do đó ý b) là đúng.

⦁ Tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố \(F\) là: \[\left\{ {\left( {1\,,\,\,1} \right)\,;\,\,\left( {1\,,\,\,2} \right)\,;\,\,\left( {2\,,\,\,1} \right)\,;\,\,\left( {1\,,\,\,3} \right)\,;\,\,\left( {3\,,\,1} \right)\,;\,\,\left( {2\,,\,\,2} \right)\,;\,\,\left( {4\,,\,\,1} \right)} \right\}.\]

Suy ra có 7 kết quả thuận lợi cho biến cố \(F\).

Số kết quả thuận lợi cho biến cố \[F\] nhiều hơn biến cố \[E\] là \(7 - 2 = 5.\) Do đó ý c) là đúng.

⦁ Số phần tử của \(\Omega \) là \(15\); số kết quả thuận lợi cho biến cố \[F\] là 7.

Xác suất của biến cố \(F\) là \(\frac{7}{{15}}\). Do đó ý d) là sai.

Vậy: a) S. b) Đ. c) Đ. d) S.