Cho tam giác ABC có AB<AC. Hai đường cao AD và BE cắt nhau tại H và AD=BE\left(D\in BC;E\in AC\right). Chứng minh rằng:

(a) Tam giác ABC cân tại C.

(b) Đường thẳng CH là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

(c) DE song song với AB.

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), \(M\) là trung điểm của \(BC\).

(a) Chứng minh \(AM = \frac{{BC}}{2}\).

(b) Chứng minh rằng: Nếu \(\widehat C = 30^\circ \) thì \(AB = \frac{{BC}}{2}\).

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường trung tuyến $CM$. Trên tia đối của tia $MC$ lấy điểm $D$ sao cho $MD=MC$.

(a) Chứng minh $\Delta MAC=\Delta MBD$.

(b) Chứng minh $AC+BC>2CM$.

(c) Gọi $K$ là điểm trên đoạn thẳng $AM$sao cho $AK=\frac{2}{3}AM$. Gọi $N$ là giao điểm của $CK$ và $AD$, $I$ là giao điểm của $BN$ và $CD$. Chứng minh rằng $CD=3ID$.

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), kẻ \(AH\) vuông góc với \(BC\) tại \(H\). Trên cạnh \(BC\) lấy điểm sao cho \(CM = CA\), trên cạnh \(AB\) lấy điểm \(N\) sao cho \(AN = AH\). Biết \(AB = 3\,\,{\rm{cm}}\), \(BC = 6\,\,{\rm{cm}}\).

(a) Tính độ dài cạnh \(AC\).

(b) Trên tia đối của tia \(AB\) lấy điểm \(D\) sao cho \(AD = AB\). Chứng minh tam giác \(BCD\) đều.

(c) Chứng minh \(\widehat {MAH} = \widehat {MAN}\) và \(MN \bot AB\).

Cho tam giác \(ABC\) đều, \[AB = 4\,\,{\rm{cm}}\]. Trên cạnh \[AC\] và cạnh \[BC\] lần lượt lấy các điểm \[M,{\rm{ }}N\] \[\left( M \right.\] và \[N\] không trùng với các đỉnh của \(\left. {\Delta ABC} \right)\) sao cho \[CM = BN.\]Gọi \[G\] là giao điểm của \[AN\] và \[BM\].

(a) Kẻ \[CH\] vuông góc với \[AB\] tại \[H\]. Tính \[CH\].

(b) Chứng minh \[AN = BM\]. Tính \[\widehat {AGM}\].

Cho tam giác ABC vuông tại A có $\widehat{ABC}>\widehat{ACB},$ trung tuyến AM. Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho C là trung điểm của MD. Trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho $BE=BA.$ Trên tia đối của tia MA lấy điểm N sao cho $MN=MA$.

(a) Chứng minh $\Delta AMB=\Delta NMC$ và CN\perp CA.

(b) Gọi I là trung điểm của DE. Chứng minh ba điểm A,M,I thẳng hàng.

(c*) So sánh AD và BC.

Cho hai đa thức: \(A\left( x \right) = 2{x^4} + 3{x^2} - x + 3 - {x^2} - {x^4} - 6{x^3}\);

\(B\left( x \right) = 10{x^3} + 3 - {x^4} - 4{x^3} + 4x - 2{x^2}\).

(a) Thu gọn và sắp xếp các hạng tử của mỗi đa thức trên theo lũy thừa giảm dần của biến.

(b) Xác định bậc và hệ số cao nhất của đa thức \(A\left( x \right)\).

(c) So sánh \(A\left( { - 1} \right)\) và \(B\left( 1 \right)\).

(d) Tìm đa thức \(M\left( x \right)\) sao cho \(A\left( x \right) = M\left( x \right) - B\left( x \right)\). Tìm nghiệm của đa thức \(M\left( x \right)\).

Cho tam giác $MNP$ cân tại $M.$ Gọi $O$ là trung điểm $NP.$

(a) Chứng minh rằng $\Delta MON=\Delta MOP.$

(b) Gọi $K$ là trung điểm của $MO.$ Qua $K$ vẽ đường thẳng vuông góc với $MO$ và cắt $MP$ tại $E$. Chứng minh rằng $\Delta EMK=\Delta EOK.$

(c) Chứng minh $OE\parallel MN$.