Câu hỏi:

27/03/2026 288

Cho tam giác $A B C$ có $A B < A C$ . Hai đường cao $A D$ và $B E$ cắt nhau tại $H$ và $A D = B E$ $(D \in B C; E \in A C)$ . Chứng minh rằng:

(a) Tam giác $A B C$ cân tại $C$ .

(b) Đường thẳng $C H$ là đường trung trực của đoạn thẳng $A B$ .

(c) $D E$ song song với $A B$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề cương ôn tập cuối kì 2 Toán 7 Cánh diều cấu trúc mới có đáp án !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho tam giác ABC có AB<AC. Hai đường cao AD và BE cắt nhau tại H và AD=BE(D∈BC;E∈AC). Chứng minh rằng: (a) Tam giác ABC cân tại C. (b) Đường thẳng CH là đường trung trực của đoạn thẳng AB. (ảnh 1)

a) Xét $Δ A D E$ và $Δ B E D$ có

$A D = B E$ (gt)

$\hat{A E D} = \hat{B D E} = 90 °$

Cạnh $A B$ chung

Do đó $Δ A D E = Δ B E D$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra $\hat{E A B} = \hat{A B D}$ (hai góc tương ứng)

Vậy tam giác $A B C$ cân tại $C$ .

b) Vì tam giác $A B C$ cân tại $C$ nên $C A = C B$ .

Suy ra $C$ thuộc đường trung trực của $A B$ .

Vì $Δ A D E = Δ B E D$ (cmt) nên $\hat{E B A} = \hat{D A B}$ (hai góc tương ứng).

Suy ra tam giác $H A B$ cân tại $H$ nên $H A = H B$ .

Do đó $H$ thuộc đường trung trực của $A B$ .

Vậy đường thẳng $C H$ là đường trung trực của đoạn thẳng $A B$ .

c) Tam giác $A B C$ cân tại $C$ nên $\hat{C A B} = \frac{180 ° - \hat{A C B}}{2}$ .

Ta có $A E = B D$ (vì $Δ A D E = Δ B E D$ ).

Suy ra $C A - A E = C B - B D$ nên $C E = C D$ .

Do đó tam giác $C E D$ cân tại $C$ nên $\hat{C E D} = \frac{180 ° - \hat{A C B}}{2}$ .

Suy ra $\hat{C A B} = \hat{C E D}$

Mà $\hat{C A B}$ và $\hat{C E D}$ ở vị trí đồng vị nên $E D / / B A .$

Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$ , đường trung tuyến $C M$ . Trên tia đối của tia $M C$ lấy điểm $D$ sao cho $M D = M C$ .

(a) Chứng minh $Δ M A C = Δ M B D$ .

(b) Chứng minh $A C + B C > 2 C M$ .

(c) Gọi $K$ là điểm trên đoạn thẳng $A M$ sao cho $A K = \frac{2}{3} A M$ . Gọi $N$ là giao điểm của $C K$ và $A D$ , $I$ là giao điểm của $B N$ và $C D$ . Chứng minh rằng $C D = 3 I D$ .

Xem đáp án

Lời giải

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường trung tuyến CM. Trên tia đối của tia MC lấy điểm D sao cho MD=MC. (a) Chứng minh ΔMAC=ΔMBD. (b) Chứng minh AC+BC>2CM. (ảnh 1)

a) Xét $Δ M A C$ và $Δ M B D$ có:

$M A = M B$ (do $M$ là trung điểm của $A B$ 0;

$\hat{A M C} = \hat{B M D}$ (đối đỉnh);

$M C = M D$ (giả thiết)

Do đó $Δ M A C = Δ M B D (c . g . c)$ .

b) Do $Δ M A C = Δ M B D$ (câu a) nên $A C = B D$ (hai cạnh tương ứng).

Xét $Δ B C D$ có: $B D + B C > C D$ (bất đẳng thức tam giác)

Do đó $A C + B C > C D$

Mà $C D = 2 C M$ (do $M D = M C$ nên $M$ là trung điểm của $C D$ ).

Vậy $A C + B C > 2 C M$ .

c) Xét $Δ A C D$ có đường trung tuyến $A M$ và $A K = \frac{2}{3} A M$ nên $K$ là trọng tâm của $Δ A C D$

Do đó $C K$ là đường trung tuyến nên $N$ là trung điểm của $A D$ .

Xét $Δ A B D$ có $D M, B N$ là hai đường trung tuyến và $D M, B N$ cắt nhau tại $I$ nên $I$ là trọng tâm của $Δ A B D$ .

Do đó $D I = \frac{2}{3} D M$

Mà $D M = \frac{1}{2} C D$ nên $D I = \frac{2}{3} . \frac{1}{2} C D = \frac{1}{3} C D$ hay $C D = 3 D I$ .

Câu 2

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $M$ là trung điểm của $BC$.

(a) Chứng minh $AM = \frac{{BC}}{2}$.

(b) Chứng minh rằng: Nếu $\widehat C = 30^\circ $ thì $AB = \frac{{BC}}{2}$.

Xem đáp án

Lời giải

Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của BC. (a) Chứng minh AM=BC/2. (b) Chứng minh rằng: Nếu ˆC=30∘ thì AB=BC/2. (ảnh 1)

a) Trên tia đối của tia $MA$ lấy $D$ sao cho $MA = MD$ suy ra $AM = \frac{{AD}}{2}\,\,\,\left( 1 \right)$

• Xét $\Delta ABM$ và $\Delta CMD$ có

$AM = MD$ (theo cách vẽ)

$\widehat {AMB} = \widehat {CMD}$ (hai góc đối đỉnh)

$BM = CM$ (gt)

Do đó $\Delta AMB = \Delta DMC\,\,\left( {{\rm{c}}{\rm{.g}}{\rm{.c}}} \right)$

Suy ra $AB = CD$ (hai cạnh tương ứng)

Và $\widehat {ABC} = \widehat {DCM}$ (hai góc tương ứng)

Do đó $\widehat {ABC} + \widehat {ACB} = \widehat {DCM} + \widehat {ACB}$ nên $\widehat {ACD} = 90^\circ $.

• Xét $\Delta ABC$ và $\Delta DCA$ có:

$AB = CD$ (cmt)

$\widehat {ABC} = \widehat {DCM}$ (cmt)

Cạnh $AC$ chung

Do đó $\Delta ABC = \Delta CDA\,\,\left( {{\rm{c}}{\rm{.g}}{\rm{.c}}} \right)$.

Suy ra $BC = AD\,\,\,\left( 2 \right)$ (hai cạnh tương ứng).

Từ (1) và (2) suy ra $AM = \frac{{BC}}{2}$.

b) Vì $AM = \frac{{BC}}{2};\,\,BM = \frac{{BC}}{2}$ nên $AM = BM$ suy ra $\Delta ABM\,$ cân.

Nếu $\widehat C = 30^\circ $ thì $\widehat {ABC} = 60^\circ $ nên $\Delta ABM$ đều.

Do đó \[AB = AM = \frac{{BC}}{2}\widehat {BAC} = \widehat {ACD}\,\,\,\left( { = 90^\circ } \right)\] (tính chất tam giác đều).

Vậy $AB = \frac{{BC}}{2}$.

Câu 3