Câu hỏi:

27/03/2026 200

Cho tam giác $A B C$ có $A B < A C$ . Hai đường cao $A D$ và $B E$ cắt nhau tại $H$ và $A D = B E$ $(D \in B C; E \in A C)$ . Chứng minh rằng:

(a) Tam giác $A B C$ cân tại $C$ .

(b) Đường thẳng $C H$ là đường trung trực của đoạn thẳng $A B$ .

(c) $D E$ song song với $A B$ .

Câu hỏi trong đề: Đề cương ôn tập cuối kì 2 Toán 7 Cánh diều cấu trúc mới có đáp án !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho tam giác ABC có AB<AC. Hai đường cao AD và BE cắt nhau tại H và AD=BE(D∈BC;E∈AC). Chứng minh rằng: (a) Tam giác ABC cân tại C. (b) Đường thẳng CH là đường trung trực của đoạn thẳng AB. (ảnh 1)

a) Xét $Δ A D E$ và $Δ B E D$ có

$A D = B E$ (gt)

$\hat{A E D} = \hat{B D E} = 90 °$

Cạnh $A B$ chung

Do đó $Δ A D E = Δ B E D$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra $\hat{E A B} = \hat{A B D}$ (hai góc tương ứng)

Vậy tam giác $A B C$ cân tại $C$ .

b) Vì tam giác $A B C$ cân tại $C$ nên $C A = C B$ .

Suy ra $C$ thuộc đường trung trực của $A B$ .

Vì $Δ A D E = Δ B E D$ (cmt) nên $\hat{E B A} = \hat{D A B}$ (hai góc tương ứng).

Suy ra tam giác $H A B$ cân tại $H$ nên $H A = H B$ .

Do đó $H$ thuộc đường trung trực của $A B$ .

Vậy đường thẳng $C H$ là đường trung trực của đoạn thẳng $A B$ .

c) Tam giác $A B C$ cân tại $C$ nên $\hat{C A B} = \frac{180 ° - \hat{A C B}}{2}$ .

Ta có $A E = B D$ (vì $Δ A D E = Δ B E D$ ).

Suy ra $C A - A E = C B - B D$ nên $C E = C D$ .

Do đó tam giác $C E D$ cân tại $C$ nên $\hat{C E D} = \frac{180 ° - \hat{A C B}}{2}$ .

Suy ra $\hat{C A B} = \hat{C E D}$

Mà $\hat{C A B}$ và $\hat{C E D}$ ở vị trí đồng vị nên $E D / / B A .$

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$ , đường trung tuyến $C M$ . Trên tia đối của tia $M C$ lấy điểm $D$ sao cho $M D = M C$ .

(a) Chứng minh $Δ M A C = Δ M B D$ .

(b) Chứng minh $A C + B C > 2 C M$ .

(c) Gọi $K$ là điểm trên đoạn thẳng $A M$ sao cho $A K = \frac{2}{3} A M$ . Gọi $N$ là giao điểm của $C K$ và $A D$ , $I$ là giao điểm của $B N$ và $C D$ . Chứng minh rằng $C D = 3 I D$ .

Xem đáp án

Lời giải

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường trung tuyến CM. Trên tia đối của tia MC lấy điểm D sao cho MD=MC. (a) Chứng minh ΔMAC=ΔMBD. (b) Chứng minh AC+BC>2CM. (ảnh 1)

a) Xét $Δ M A C$ và $Δ M B D$ có:

$M A = M B$ (do $M$ là trung điểm của $A B$ 0;

$\hat{A M C} = \hat{B M D}$ (đối đỉnh);

$M C = M D$ (giả thiết)

Do đó $Δ M A C = Δ M B D (c . g . c)$ .

b) Do $Δ M A C = Δ M B D$ (câu a) nên $A C = B D$ (hai cạnh tương ứng).

Xét $Δ B C D$ có: $B D + B C > C D$ (bất đẳng thức tam giác)

Do đó $A C + B C > C D$

Mà $C D = 2 C M$ (do $M D = M C$ nên $M$ là trung điểm của $C D$ ).

Vậy $A C + B C > 2 C M$ .

c) Xét $Δ A C D$ có đường trung tuyến $A M$ và $A K = \frac{2}{3} A M$ nên $K$ là trọng tâm của $Δ A C D$

Do đó $C K$ là đường trung tuyến nên $N$ là trung điểm của $A D$ .

Xét $Δ A B D$ có $D M, B N$ là hai đường trung tuyến và $D M, B N$ cắt nhau tại $I$ nên $I$ là trọng tâm của $Δ A B D$ .

Do đó $D I = \frac{2}{3} D M$

Mà $D M = \frac{1}{2} C D$ nên $D I = \frac{2}{3} . \frac{1}{2} C D = \frac{1}{3} C D$ hay $C D = 3 D I$ .

Câu 2

Cho tam giác $ABC$ đều, \[AB = 4\,\,{\rm{cm}}\]. Trên cạnh \[AC\] và cạnh \[BC\] lần lượt lấy các điểm \[M,{\rm{ }}N\] \[\left( M \right.\] và \[N\] không trùng với các đỉnh của $\left. {\Delta ABC} \right)$ sao cho \[CM = BN.\]Gọi \[G\] là giao điểm của \[AN\] và \[BM\].

(a) Kẻ \[CH\] vuông góc với \[AB\] tại \[H\]. Tính \[CH\].

(b) Chứng minh \[AN = BM\]. Tính \[\widehat {AGM}\].

Xem đáp án

Lời giải

Cho tam giác ABC đều, AB=4cm. Trên cạnh AC và cạnh BC lần lượt lấy các điểm M,N (M và N không trùng với các đỉnh của ΔABC) sao cho CM=BN.Gọi G là giao điểm của AN và BM. (ảnh 1)

a) Xét $\Delta ABN$ và $\Delta BCM$ có:

\[AB = BC\] (tam giác$ABC$ đều)

\[\widehat B = \widehat C\] (tam giác $ABC$ đều)

\[BN = CM\] (gt)

Do đó $\Delta ABN = \Delta BCM\,\,\left( {{\rm{c}}{\rm{.g}}{\rm{.c}}} \right)$.

Suy ra $AN = BM$ (hai cạnh tương ứng)

b) Từ câu a: $\Delta ABN = \Delta BCM$ suy ra $\widehat {BAN} = \widehat {MBC}$ (hai góc tương ứng)

Theo tính chất góc ngoài của tam giác, ta có:

$\widehat {AGM} = \widehat {GBA} + \widehat {BAN} = \widehat {GBA} + \widehat {MBC} = \widehat {ABC} = 60^\circ $.

Vậy $\widehat {AGM} = 60^\circ $.

Câu 3