Câu hỏi:

27/03/2026 331

Cho $Δ A B C$ có ba đường trung tuyến $A D, B E, C F$ cắt nhau tại $G$ . Chứng minh rằng:

(a) $A D < \frac{A B + A C}{2}$ .

(b) $B E + C F > \frac{3}{2} B C$ .

(c) $\frac{3}{4} (A B + B C + A C) < A D + B E + C F < A B + B C + A C$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề cương ôn tập cuối kì 2 Toán 7 Cánh diều cấu trúc mới có đáp án !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho ΔABC có ba đường trung tuyến AD,BE,CF cắt nhau tại G. Chứng minh rằng: (a) AD<AB+AC/2. (b) BE+CF>3/2BC. (ảnh 1)

a) Trên tia đối của tia $D A$ lấy điểm $H$ sao cho $D A = D H$ .

• Xét $Δ A D B$ và $Δ H D C$ có

$B D = C D$ ( $D$ là trung điểm của $B C$ )

$\hat{A D B} = \hat{H D C}$ (đối đỉnh)

$A D = H D$ (cách dựng)

Do đó $Δ A D B = Δ H C D (c . g . c)$ .

Suy ra $A B = H C$ (hai cạnh tương ứng).

• Xét $Δ A C H$ có $A C + H C > A H$ (bất đẳng thức trong tam giác).

Suy ra $A C + A B > 2 A D$ hay $A D < \frac{A B + A C}{2}$ .

b) Ta có $A D, B E, C F$ cắt nhau tại $G$ nên $G$ là trọng tâm của $Δ A B C$ .

Suy ra $B G = \frac{2}{3} B E, C G = \frac{2}{3} C F, A G = \frac{2}{3} A D$ .

Xét $Δ B G C$ có $B G + C G > B C$ (bất đẳng thức trong tam giác).

Suy ra $\frac{2}{3} (B E + C F) > B C$ hay $B E + C F > \frac{3}{2} B C .$

c) Áp dụng bất đẳng thức trong tam giác $A G B, A G C, B G C$ :

• Xét $Δ A G B$ có $A G + B G > A B$ . (1)

• Xét $Δ A G C$ có $A G + C G > A C$ . (2)

• Xét $Δ B G C$ có $B G + C G > B C$ . (3)

Cộng vế với vế của (1), (2), (3) ta được:

$A G + B G + A G + C G + B G + C G > A B + A C + B C$

$2 A G + 2 B G + 2 C G > A B + A C + B C$

$\frac{4}{3} A D + \frac{4}{3} B E + \frac{4}{3} C F > A B + A C + B C$

$\frac{3}{4} (A B + B C + A C) < A D + B E + C F$ .

Theo câu a) ta có $A D < \frac{A B + A C}{2}$ .

Chứng minh tương tự, ta có: $B E < \frac{A B + B C}{2}; C F < \frac{B C + A C}{2}$ .

Suy ra $A D + B E + C F > \frac{A B + A C}{2} + \frac{A B + B C}{2} + \frac{B C + A C}{2}$ .

Do đó $A D + B E + C F < A B + B C + A C$ .

Vậy $\frac{3}{4} (A B + B C + A C) < A D + B E + C F < A B + B C + A C$ .

Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$ , đường trung tuyến $C M$ . Trên tia đối của tia $M C$ lấy điểm $D$ sao cho $M D = M C$ .

(a) Chứng minh $Δ M A C = Δ M B D$ .

(b) Chứng minh $A C + B C > 2 C M$ .

(c) Gọi $K$ là điểm trên đoạn thẳng $A M$ sao cho $A K = \frac{2}{3} A M$ . Gọi $N$ là giao điểm của $C K$ và $A D$ , $I$ là giao điểm của $B N$ và $C D$ . Chứng minh rằng $C D = 3 I D$ .

Xem đáp án

Lời giải

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường trung tuyến CM. Trên tia đối của tia MC lấy điểm D sao cho MD=MC. (a) Chứng minh ΔMAC=ΔMBD. (b) Chứng minh AC+BC>2CM. (ảnh 1)

a) Xét $Δ M A C$ và $Δ M B D$ có:

$M A = M B$ (do $M$ là trung điểm của $A B$ 0;

$\hat{A M C} = \hat{B M D}$ (đối đỉnh);

$M C = M D$ (giả thiết)

Do đó $Δ M A C = Δ M B D (c . g . c)$ .

b) Do $Δ M A C = Δ M B D$ (câu a) nên $A C = B D$ (hai cạnh tương ứng).

Xét $Δ B C D$ có: $B D + B C > C D$ (bất đẳng thức tam giác)

Do đó $A C + B C > C D$

Mà $C D = 2 C M$ (do $M D = M C$ nên $M$ là trung điểm của $C D$ ).

Vậy $A C + B C > 2 C M$ .

c) Xét $Δ A C D$ có đường trung tuyến $A M$ và $A K = \frac{2}{3} A M$ nên $K$ là trọng tâm của $Δ A C D$

Do đó $C K$ là đường trung tuyến nên $N$ là trung điểm của $A D$ .

Xét $Δ A B D$ có $D M, B N$ là hai đường trung tuyến và $D M, B N$ cắt nhau tại $I$ nên $I$ là trọng tâm của $Δ A B D$ .

Do đó $D I = \frac{2}{3} D M$

Mà $D M = \frac{1}{2} C D$ nên $D I = \frac{2}{3} . \frac{1}{2} C D = \frac{1}{3} C D$ hay $C D = 3 D I$ .

Câu 2

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $M$ là trung điểm của $BC$.

(a) Chứng minh $AM = \frac{{BC}}{2}$.

(b) Chứng minh rằng: Nếu $\widehat C = 30^\circ $ thì $AB = \frac{{BC}}{2}$.

Xem đáp án

Lời giải

Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của BC. (a) Chứng minh AM=BC/2. (b) Chứng minh rằng: Nếu ˆC=30∘ thì AB=BC/2. (ảnh 1)

a) Trên tia đối của tia $MA$ lấy $D$ sao cho $MA = MD$ suy ra $AM = \frac{{AD}}{2}\,\,\,\left( 1 \right)$

• Xét $\Delta ABM$ và $\Delta CMD$ có

$AM = MD$ (theo cách vẽ)

$\widehat {AMB} = \widehat {CMD}$ (hai góc đối đỉnh)

$BM = CM$ (gt)

Do đó $\Delta AMB = \Delta DMC\,\,\left( {{\rm{c}}{\rm{.g}}{\rm{.c}}} \right)$

Suy ra $AB = CD$ (hai cạnh tương ứng)

Và $\widehat {ABC} = \widehat {DCM}$ (hai góc tương ứng)

Do đó $\widehat {ABC} + \widehat {ACB} = \widehat {DCM} + \widehat {ACB}$ nên $\widehat {ACD} = 90^\circ $.

• Xét $\Delta ABC$ và $\Delta DCA$ có:

$AB = CD$ (cmt)

$\widehat {ABC} = \widehat {DCM}$ (cmt)

Cạnh $AC$ chung

Do đó $\Delta ABC = \Delta CDA\,\,\left( {{\rm{c}}{\rm{.g}}{\rm{.c}}} \right)$.

Suy ra $BC = AD\,\,\,\left( 2 \right)$ (hai cạnh tương ứng).

Từ (1) và (2) suy ra $AM = \frac{{BC}}{2}$.

b) Vì $AM = \frac{{BC}}{2};\,\,BM = \frac{{BC}}{2}$ nên $AM = BM$ suy ra $\Delta ABM\,$ cân.

Nếu $\widehat C = 30^\circ $ thì $\widehat {ABC} = 60^\circ $ nên $\Delta ABM$ đều.

Do đó \[AB = AM = \frac{{BC}}{2}\widehat {BAC} = \widehat {ACD}\,\,\,\left( { = 90^\circ } \right)\] (tính chất tam giác đều).

Vậy $AB = \frac{{BC}}{2}$.

Câu 3