Câu hỏi:

27/03/2026 141

Cho đa thức $A (x) = a x^{2} + b x + c$ . Biết $A (x)$ nhận $- 1$ làm nghiệm và $A (x)$ chia hết cho đa thức $x - 1$ . Chứng minh $a$ và $c$ là hai số đối nhau.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề cương ôn tập cuối kì 2 Toán 7 Cánh diều cấu trúc mới có đáp án !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Do $A (x)$ nhận $- 1$ làm nghiệm nên ta có $A\left( { - 1} \right) = 0$

Do đó $a.{\left( { - 1} \right)^2} + b.\left( { - 1} \right) + c = 0$, suy ra $a - b + c = 0\,\,\,\,\left( 1 \right)$

Ta thực hiện đặt tính chia đa thức $A\left( x \right)$ cho đa thức $x - 1$ như sau:

Cho đa thức A(x)=ax^2+bx+c. Biết A(x) nhận −1 làm nghiệm và A(x) chia hết cho đa thức x−1. Chứng minh a và c là hai số đối nhau. (ảnh 1)

Để $A\left( x \right)$ chia hết cho đa thức $x - 1$ thì $c + b + a = 0\,\,\,\,\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ ta có $a - b + c = c + b + a$

Suy ra $2b = 0$, nên $b = 0$.

Thay $b = 0$ vào $\left( 1 \right)$ ta được $a + c = 0$, do đó $a = - c$.

Vậy $a$ và $c$ là hai số đối nhau.

Lưu ý: Với dữ kiện $A\left( x \right)$ chia hết cho đa thức $x - 1$ ta có thể suy ra điều kiện $\left( 2 \right)$ theo cách sau:

$A\left( x \right)$ chia hết cho đa thức $x - 1$ nên ta có:

$A\left( x \right) = \left( {x - 1} \right).Q\left( x \right)$ với $Q\left( x \right)$ là thương của phép chia đa thức $A\left( x \right)$ cho đa thức $x - 1$.

Khi đó $A\left( 1 \right) = \left( {1 - 1} \right).Q\left( 1 \right) = 0$ hay $A\left( 1 \right) = 0$.

Suy ra $a + b + c = 0$ $\left( 2 \right)$.

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$ , đường trung tuyến $C M$ . Trên tia đối của tia $M C$ lấy điểm $D$ sao cho $M D = M C$ .

(a) Chứng minh $Δ M A C = Δ M B D$ .

(b) Chứng minh $A C + B C > 2 C M$ .

(c) Gọi $K$ là điểm trên đoạn thẳng $A M$ sao cho $A K = \frac{2}{3} A M$ . Gọi $N$ là giao điểm của $C K$ và $A D$ , $I$ là giao điểm của $B N$ và $C D$ . Chứng minh rằng $C D = 3 I D$ .

Xem đáp án

Lời giải

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường trung tuyến CM. Trên tia đối của tia MC lấy điểm D sao cho MD=MC. (a) Chứng minh ΔMAC=ΔMBD. (b) Chứng minh AC+BC>2CM. (ảnh 1)

a) Xét $Δ M A C$ và $Δ M B D$ có:

$M A = M B$ (do $M$ là trung điểm của $A B$ 0;

$\hat{A M C} = \hat{B M D}$ (đối đỉnh);

$M C = M D$ (giả thiết)

Do đó $Δ M A C = Δ M B D (c . g . c)$ .

b) Do $Δ M A C = Δ M B D$ (câu a) nên $A C = B D$ (hai cạnh tương ứng).

Xét $Δ B C D$ có: $B D + B C > C D$ (bất đẳng thức tam giác)

Do đó $A C + B C > C D$

Mà $C D = 2 C M$ (do $M D = M C$ nên $M$ là trung điểm của $C D$ ).

Vậy $A C + B C > 2 C M$ .

c) Xét $Δ A C D$ có đường trung tuyến $A M$ và $A K = \frac{2}{3} A M$ nên $K$ là trọng tâm của $Δ A C D$

Do đó $C K$ là đường trung tuyến nên $N$ là trung điểm của $A D$ .

Xét $Δ A B D$ có $D M, B N$ là hai đường trung tuyến và $D M, B N$ cắt nhau tại $I$ nên $I$ là trọng tâm của $Δ A B D$ .

Do đó $D I = \frac{2}{3} D M$

Mà $D M = \frac{1}{2} C D$ nên $D I = \frac{2}{3} . \frac{1}{2} C D = \frac{1}{3} C D$ hay $C D = 3 D I$ .

Câu 2

Cho tam giác $ABC$ đều, \[AB = 4\,\,{\rm{cm}}\]. Trên cạnh \[AC\] và cạnh \[BC\] lần lượt lấy các điểm \[M,{\rm{ }}N\] \[\left( M \right.\] và \[N\] không trùng với các đỉnh của $\left. {\Delta ABC} \right)$ sao cho \[CM = BN.\]Gọi \[G\] là giao điểm của \[AN\] và \[BM\].

(a) Kẻ \[CH\] vuông góc với \[AB\] tại \[H\]. Tính \[CH\].

(b) Chứng minh \[AN = BM\]. Tính \[\widehat {AGM}\].

Xem đáp án

Lời giải

Cho tam giác ABC đều, AB=4cm. Trên cạnh AC và cạnh BC lần lượt lấy các điểm M,N (M và N không trùng với các đỉnh của ΔABC) sao cho CM=BN.Gọi G là giao điểm của AN và BM. (ảnh 1)

a) Xét $\Delta ABN$ và $\Delta BCM$ có:

\[AB = BC\] (tam giác$ABC$ đều)

\[\widehat B = \widehat C\] (tam giác $ABC$ đều)

\[BN = CM\] (gt)

Do đó $\Delta ABN = \Delta BCM\,\,\left( {{\rm{c}}{\rm{.g}}{\rm{.c}}} \right)$.

Suy ra $AN = BM$ (hai cạnh tương ứng)

b) Từ câu a: $\Delta ABN = \Delta BCM$ suy ra $\widehat {BAN} = \widehat {MBC}$ (hai góc tương ứng)

Theo tính chất góc ngoài của tam giác, ta có:

$\widehat {AGM} = \widehat {GBA} + \widehat {BAN} = \widehat {GBA} + \widehat {MBC} = \widehat {ABC} = 60^\circ $.

Vậy $\widehat {AGM} = 60^\circ $.

Câu 3