Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{x}{{x + 1}}\) có đồ thị là \(\left( C \right)\). Khi đó

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) Đ

Có \(f'\left( x \right) = \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\); \(f''\left( x \right) =  - \frac{2}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}\).

a) \(f''\left( { - 2} \right) =  - \frac{2}{{{{\left( { - 2 + 1} \right)}^3}}} = 2\).

b) Ta có \(k = f'\left( 1 \right) = \frac{1}{{{{\left( {1 + 1} \right)}^2}}} = \frac{1}{4}\).

c) Có \(g\left( x \right) = \ln f\left( x \right) = \ln \frac{x}{{x + 1}}\).

Có \(g'\left( x \right) = \frac{1}{{\frac{x}{{x + 1}}}}.{\left( {\frac{x}{{x + 1}}} \right)^\prime } = \frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}}\).

Ta có \(g'\left( 1 \right) + g'\left( 2 \right) + ... + g'\left( {100} \right) = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{{100}} - \frac{1}{{101}} = 1 - \frac{1}{{101}} = \frac{{100}}{{101}} \approx 0,99\).

d) Có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{x}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{1}{{1 + \frac{1}{x}}} = 1\).