Cho lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) đáy là tam giác  ABC vuông tại A, \(AB = a,BC = a\sqrt 3 \), hình chiếu vuông góc của \(B'\) trên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) trùng với chân đường cao H kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC, góc tạo bởi \(AB'\) với \(\left( {ABC} \right)\) bằng \(60^\circ \). Tính thể tích khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\).

Một bài kiểm tra trắc nghiệm gồm \[4\] câu. Mỗi câu gồm \[4\] đáp án trong đó chỉ có \[1\] đáp án đúng. Một học sinh làm bài ngẫu nhiên. Tính xác suất để học sinh đó

a) Đúng cả \[4\] câu.

b) Không đúng câu nào

c) Đúng \[1\] câu.

d) Đúng ít nhất \[1\]câu.

Một lớp 20 học sinh trong đó có 12 bạn nam và 8 bạn nữ. Cô giáo chủ nhiệm chọn ngẫu nhiên ra 3 bạn vào đội cờ đỏ.

a) Tính xác suất để cả 3 bạn đó đều là nam.

b) Tính xác suất để có ít nhất 1 bạn nữ.

Tính đạo hàm của các hàm số sau

a) \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2x + 1\).

b) \(y = \sqrt {2{x^2} - 5x + 2} \).

c) \(y = 3\sin x - 2\cos x + \tan x - 4\).

d) \(y = {e^x}{\sin ^2}x\).

Một viên đạn được bắn lên từ vị trí \[M\]cách mặt đất \[1\,{\rm{m}}\], theo phương thẳng đứng với vận tốc ban đầu là \[{v_0} = 196\,{\rm{m/s}}\] (bỏ qua sức cản của không khí).

a) Tìm thời điểm \[{t_0}\] mà tại đó vận tốc của viên đạn bằng \[0\]. Khi đó viên đạn cách mặt đất bao nhiêu mét? (lấy \[g = 9,8{\rm{ m}}/{{\rm{s}}^2}\])

b) Sau khoảng bao nhiêu giây (kể từ lúc bắn) viên đạn rơi xuống mặt đất?

Cho hàm số \(y = {x^2} + 2x - 4\) có đồ thị \(\left( C \right)\)

a) Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại điểm có hoành độ \({x_0} = 1\) thuộc \(\left( C \right)\).

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ \({x_0} = 0\) thuộc \(\left( C \right)\).

c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có tung độ \({y_0} =  - 1\) thuộc \(\left( C \right)\).

d) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng \( - 4\).

e) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng \(y = 1 - 3x\).

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(2a\), tâm \(O\). Hình chiếu vuông góc của \(S\) lên \(\left( {ABCD} \right)\) là trung điểm \(I\) của đoạn \(OB\) và \(SB = a\). Trên cạnh \[AD\] lấy điểm \[M\] sao cho \[AM = \frac{1}{4}AD\].

a) Chứng minh \(\left( {SAC} \right) \bot \left( {SBD} \right)\) và \(\left( {SIM} \right) \bot \left( {SAD} \right)\).

b) Tính góc giữa đường thẳng \(SC\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\).

c) Gọi \[G\] là trọng tâm \[\Delta ABO\]. Tính khoảng cách từ điểm \(G\) đến mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\).