Cho lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) đáy là tam giác ABC vuông tại A, \(AB = a,BC = a\sqrt 3 \), hình chiếu vuông góc của \(B'\) trên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) trùng với chân đường cao H kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC, góc tạo bởi \(AB'\) với \(\left( {ABC} \right)\) bằng \(60^\circ \). Tính thể tích khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\).

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề cương ôn tập cuối kì 2 Toán 11 Cánh diều cấu trúc mới có đáp án !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Hướng dẫn giải

Cho lăng trụ ABC.A'B'C' đáy là tam giác ABC vuông tại A,AB = a,BC = a căn bậc hai của 3 , hình chiếu vuông góc của B' trên mặt phẳng (ABC) trùng với chân đường cao H kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC (ảnh 1)

Vì \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) nên \(AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}} = \sqrt {3{a^2} - {a^2}} = a\sqrt 2 \).

\({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}a.a\sqrt 2 = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2}.\)

Ta có \(B'H \bot \left( {ABC} \right)\)

\( \Rightarrow \left( {AB',\left( {ABC} \right)} \right) = \widehat {B'AH} = 60^\circ \).

Xét tam giác ABC vuông tại A có: \(AH = \frac{{AB.AC}}{{BC}} = \frac{{a.a\sqrt 2 }}{{a\sqrt 3 }} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\).

Xét tam giác \(AHB'\) vuông tại H có: \(B'H = AH.\tan \widehat {B'AH} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}.\tan 60^\circ = a\sqrt 2 \).

Vậy \({V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{ABC}}.B'H = \frac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2}.a\sqrt 2 = {a^3}\).

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Một lớp 20 học sinh trong đó có 12 bạn nam và 8 bạn nữ. Cô giáo chủ nhiệm chọn ngẫu nhiên ra 3 bạn vào đội cờ đỏ.

a) Tính xác suất để cả 3 bạn đó đều là nam.

b) Tính xác suất để có ít nhất 1 bạn nữ.

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải

a) Gọi biến cố \(A:\) “Cả 3 đều là nam”.

\[P\left( A \right) = \frac{{C_{12}^3}}{{C_{20}^3}} = \frac{{11}}{{57}}\].

b) Gọi biến cố \(B:\) “Có ít nhất một bạn nữ”

Xét biến cố đối \[\overline B \]”Không có bạn nữ nào” \[ \Rightarrow P\left( {\overline B } \right) = P\left( A \right)\]

\[ \Rightarrow P\left( B \right) = 1 - P\left( {\overline B } \right) = 1 - P\left( A \right) = 1 - \frac{{C_{12}^3}}{{C_{20}^3}} = \frac{{46}}{{57}}\].

Câu 2

Đội thanh niên xung kích có của một trường phổ thông có \[12\] học sinh, gồm \[5\] học sinh lớp \[10\]; \[4\] học sinh lớp \[11\] và \[3\] học sinh lớp \[12\]. Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ. Tính xác suất của biến cố “\(4\) học sinh được chọn thuộc không quá \(2\) trong \(3\) lớp”.

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải

Gọi \(A\) là biến cố “\(4\) học sinh được chọn thuộc không quá \(2\) trong \(3\) lớp”

TH 1: \[4\] học sinh được chọn thuộc một lớp:

Lớp \[10\]: có \(C_5^4 = 5\) cách chọn.

Lớp \[11\]: có \(C_4^4 = 1\) cách chọn.

Trường hợp này có: \(6\) cách chọn.

TH 2: \[4\] học sinh được chọn thuộc hai lớp:

Lớp \[10\] và \[11\]: có \(C_9^4 - (C_5^4 + C_4^4) = 120\).

Lớp \[11\] và \[12\]: có \(C_7^4 - C_4^4 = 34\).

Lớp \[10\] và \[12\]: có \(C_8^4 - C_5^4 = 65\).

Trường hợp này có \[120 + 34 + 65 = 219\] cách chọn.

Vậy số kết quả thuận lợi cho biến cố \(A\) là \(6 + 219 = 225\).

Xác suất xảy ra biến cố \(A\) là \(P\left( A \right) = \frac{{225}}{{C_{12}^4}} = \frac{5}{{11}}\).

Câu 3