Cho các số \(a,\,\,b\) thỏa mãn \(4a + 1001b > 1001b + 6\). Tính giá trị của biểu thức \(A = 7a + 10\) với \(a\) là số nguyên nhỏ nhất thỏa mãn bất đẳng thức trên.

a) Đúng.

Vì \[a \ge b > 0\] nên \[a + b > 0.\]

b) Sai.

Vì \[a \ge b > 0\] nên \[ab > 0.\]

c) Đúng.

Ta có: \[S = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} - \frac{4}{{a + b}}\]

            \[ = \frac{{b\left( {a + b} \right) + a\left( {a + b} \right) - 4ab}}{{ab\left( {a + b} \right)}}\]

            \[ = \frac{{ba + {b^2} + {a^2} + ab - 4ab}}{{ab\left( {a + b} \right)}}\]

            \[ = \frac{{{b^2} + {a^2} - 2ab}}{{ab\left( {a + b} \right)}}\]

            \[ = \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{{ab\left( {a + b} \right)}}\].

d) Sai.

Nhận thấy \[S = \frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{{ab\left( {a + b} \right)}} \ge 0\] với mọi \[a \ge b > 0\].

Do đó, \[\frac{1}{a} + \frac{1}{b} - \frac{4}{{a + b}} \ge 0\] nên \[\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \ge \frac{4}{{a + b}}\].

Đáp án đúng là: D

Vì \[m + \frac{2}{3} = n\] nên \[m - n = - \frac{2}{3}.\]

Mà \[ - \frac{2}{3} < 0.\]

Suy ra \[m - n < 0.\] Do đó \[m < n.\]

Vậy ta chọn phương án D.