\(A = x\sqrt {\frac{{10}}{{{x^3}}}} \) và \(B = 2\sqrt {1 + \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \).

a) Đúng.

Vì biểu thức dưới căn bậc ba là \({x^2} + 9\) nên điều kiện xác định của \(A\) là \(x \in \mathbb{R}\).

b) Đúng.

Thay \(x = - \sqrt {18} \) vào \(A\), ta có: \(A = \sqrt[3]{{{{\left( { - \sqrt {18} } \right)}^2} + 9}} = \sqrt[3]{{18 + 9}} = \sqrt[3]{{27}} = 3\).

c) Sai.

Thay \(x = \sqrt 7 \) vào \(A\), ta có: \(A = \sqrt[3]{{{{\left( {\sqrt 7 } \right)}^2} + 9}} = \sqrt[3]{{7 + 9}} = \sqrt[3]{{16}} < \sqrt[3]{{27}}\).

Do đó, giá trị của \(A\) tại \(x = \sqrt 7 \) nhỏ hơn 3.

d) Đúng.

Thay \(x = \sqrt {55} \) vào \(A\), ta được: \(A = \sqrt[3]{{{{\left( {\sqrt {55} } \right)}^2} + 9}} = \sqrt[3]{{55 + 9}} = \sqrt[3]{{64}} = 4\).

Vậy tại \(x = \sqrt {55} \) thì giá trị của \(A\) là một số nguyên.

a) Đúng.

Ta có: \(AB = \sqrt {{2^2} + {4^2}} = \sqrt {20} \).

b) Đúng.

Ta có: \(BC = \sqrt {{1^2} + {2^2}} = \sqrt 5 \).

c) Đúng.

Diện tích thửa ruộng hình chữ nhật \(ABCD\) là:

\({S_{ABCD}} = \sqrt {20} .\sqrt 5 = \sqrt {20.5} = \sqrt {100} = 10\).

d) Sai.

Ta có: \(EF = \sqrt {{1^2} + {3^2}} = \sqrt {10} \).

Diện tích thửa ruộng hình vuông \(EFGH\) là: \(\sqrt {10} .\sqrt {10} = \sqrt {10.10} = \sqrt {100} = 10\).

Do đó, diện tích thửa ruộng hình vuông \(EFGH\) bằng diện tích thửa ruộng hình chữ nhật \(ABCD.\)