Cho hàm số \(f\left( x \right) = 2{x^3} - 3{x^2} + 1\).

Đáp án: 9,38.

Gắn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) như trên với \(A\left( {5;0;0} \right)\), \(B\left( {0;b;0} \right)\), \(C\left( {0;0;c} \right)\) và \(M\left( {1;1;1} \right)\).

Phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right):\frac{x}{5} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\) \(\left( {b,c > 0} \right)\).

Điểm \(M \in \left( {ABC} \right) \Rightarrow \frac{1}{5} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 1 \Leftrightarrow \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{4}{5}\).

Thể tích khối chóp \[O.ABC\]: \({V_{O.ABC}} = \frac{1}{6} \times OA \times OB \times OC = \frac{{5bc}}{6}\).

Khoảng cách từ \[O\] đến mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\]:

\[d\left( {O,\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{{\left| {\frac{0}{5} + \frac{0}{b} + \frac{0}{c} - 1} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{1}{5}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{b}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{c}} \right)}^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt {\frac{1}{{25}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}} }}\].

Diện tích \[\Delta ABC\]: \[{S_{ABC}} = \frac{{3{V_{O.ABC}}}}{{d\left( {O,\left( {ABC} \right)} \right)}} = \frac{{\frac{{5bc}}{2}}}{{\frac{1}{{\sqrt {\frac{1}{{25}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}} }}}} = \frac{1}{2}\sqrt {{b^2}{c^2} + 25\left( {{b^2} + {c^2}} \right)} \].

Biểu thức \[{b^2}{c^2} + 25\left( {{b^2} + {c^2}} \right)\] đối xứng về vai trò của \[b\] và \[c\].

Suy ra \[{\left[ {{b^2}{c^2} + 25\left( {{b^2} + {c^2}} \right)} \right]_{\min }}\] khi \[b = c \Rightarrow \frac{1}{b} = \frac{1}{c} = \frac{2}{5} \Rightarrow b = c = \frac{5}{2}\].

Vậy \[{\left( {{S_{ABC}}} \right)_{\min }} = \frac{1}{2}\sqrt {{{\left( {\frac{5}{2}} \right)}^2}{{\left( {\frac{5}{2}} \right)}^2} + 25\left[ {{{\left( {\frac{5}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{5}{2}} \right)}^2}} \right]}  = \frac{{75}}{8} \approx 9,38\]mét vuông.

Đáp án: 23.

Ta có \[n\left( \Omega  \right) = 6!\]

Gọi số cần tìm có dạng: \[x = \overline {abcdef} \].

Vì \[x\] là số lẻ nên \[f \in \left\{ {1;3;5} \right\}\] và tổng của ba chữ số đầu lớn hơn tổng của ba chữ số cuối một đơn vị nên \[a + b + c = d + e + f + 1\].

Vì \(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b + c = 11\\d + e + f = 10\end{array} \right.\)

TH1: \[f = 1 \Rightarrow d + e = 9 = 4 + 5 = 3 + 6\]. Vậy có 2 cách chọn cặp \[\left( {d;e} \right)\] và có \[2.2!.3! = 24\] số.

TH2:\[f = 3 \Rightarrow d + e = 7 = 2 + 5 = 1 + 6\]. Vậy có 2 cách chọn cặp \[\left( {d;e} \right)\] và có \[2.2!.3! = 24\]số.

(TH2 này không lấy cặp \[\left( {3;4} \right)\] vì các chữ số khác nhau).

TH3: \[f = 5 \Rightarrow d + e = 5 = 2 + 3 = 1 + 4\]. Vậy có 2 cách chọn cặp \[\left( {d;e} \right)\] và có \[2.2!.3! = 24\]số.

Vậy xác suất \(T = \frac{{24 + 24 + 24}}{{6!}} = \frac{1}{{10}} \Rightarrow 230T = 23\)