Một công ty sau khi ra mắt sản phẩm mới đã ghi nhận lợi nhuận \[P\left( t \right)\](đơn vị: triệu đồng) sau \[t\]tháng kinh doanh. Trong năm đầu tiên, giả sử mối liên hệ giữa lợi nhuận và thời gian kinh doanh được mô hình hóa bởi hàm số: \[P\left( t \right) = - {t^3} + 10{t^2} + 63t - 45,\,0 \le t \le 12\].

Đáp án: 1,67.

Ta có đồ thị hàm số \(f(x)\) tiếp xúc với trục Ox tại điểm \(B\left( {10;0} \right)\) nên \(f\left( x \right) = \frac{{a{{\left( {x - 10} \right)}^2}}}{{x + d}}\)

Đồ thị đi qua \(A\left( {0;10} \right) \Rightarrow 10 = \frac{{a.100}}{d} \Rightarrow d = 10a\).

Đồ thị đi qua \(C\left( {15;1} \right) \Rightarrow 1 = \frac{{a.25}}{{15 + d}} \Rightarrow 15 + d = 25a \Rightarrow 15 + 10a = 25a \Rightarrow a = 1;d = 10\).

Do đó \(f\left( x \right) = \frac{{{{\left( {x - 10} \right)}^2}}}{{x + 10}}\).

Có \(x = 5 \Rightarrow y = \frac{{25}}{{15}} \approx 1,67\)

Vậy Nam cách vị trí ban đầu theo phương ngang 1 khoảng 5 mét thì nam cách mặt đất \(1,67\left( m \right)\)

Đáp án: \(1,08\).

Doanh thu của nhà máy A trong một tháng là:

\(D\left( x \right) = \left( {50 - 0,0002{x^2}} \right)x = 50x - 0,0002{x^3}\) (triệu đồng).

Tiền thuế nhà máy A phải nộp là \(T\left( x \right) = D\left( x \right).5\% \) (triệu đồng).

Chi phí sản xuất: \(C\left( x \right) = 150 + 35x\) (triệu đồng).

Lợi nhuận sau thuế trong một tháng của nhà máy A là:

\(L\left( x \right) = D\left( x \right) - D\left( x \right).5\%  - C\left( x \right) = 0,95.\left( {50x - 0,0002{x^3}} \right) - \left( {150 + 35x} \right)\)

\( =  - 0,00019{x^3} + 12,5x - 150\) (triệu đồng)

Ta có \(L'\left( x \right) =  - 0,00057{x^2} + 12,5\)

\(L'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x =  \pm \sqrt {\frac{{125}}{{0,0057}}} \)

Bảng biến thiên

Lợi nhuận sau thuế lớn nhất trong một tháng của nhà máy A là:

\(\max L\left( x \right) = L\left( {\sqrt {\frac{{125}}{{0,0057}}} } \right) \times \frac{1}{{1000}} \approx 1,08\) (tỉ đồng).