Khẳng định nào sau đây đúng?

Đáp án: 6,56

1. Đặt ẩn và lập hàm số

Gọi \(\alpha \) là góc tạo bởi chiếc thang và mặt đất \(\left( {0 < \alpha  < \frac{\pi }{2}} \right)\).

Gọi \(L\) là tổng chiều dài của chiếc thang. Chiếc thang bị chia làm hai đoạn bởi điểm tựa trên đỉnh hàng rào:

Đoạn từ mặt đất đến đỉnh hàng rào (xét tam giác vuông tạo bởi đoạn thang này, mặt đất và hàng rào): \({L_1} = \frac{{2,88}}{{\sin \alpha }}\)

Đoạn từ đỉnh hàng rào đến bức tường (xét tam giác vuông phía trên, với cạnh kề là khoảng cách từ hàng rào đến tường): \({L_2} = \frac{{1,8}}{{\cos \alpha }}\)

Tổng chiều dài của thang sẽ là hàm số theo góc \(\alpha \): \(L(\alpha ) = {L_1} + {L_2} = \frac{{2,88}}{{\sin \alpha }} + \frac{{1,8}}{{\cos \alpha }}\).

2. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

Để tìm chiều dài ngắn nhất, ta tính đạo hàm của \(L(\alpha )\) và cho bằng \(0\):

\(L'(\alpha ) =  - \frac{{2,88 \cdot \cos \alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }} + \frac{{1,8 \cdot \sin \alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }}\)

Cho \(L'(\alpha ) = 0\)\( \Leftrightarrow \) \(\frac{{1,8 \cdot \sin \alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} = \frac{{2,88 \cdot \cos \alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }}\)\( \Leftrightarrow \)\(1,8 \cdot {\sin ^3}\alpha  = 2,88 \cdot {\cos ^3}\alpha \)\( \Leftrightarrow \)\(\frac{{{{\sin }^3}\alpha }}{{{{\cos }^3}\alpha }} = \frac{{2,88}}{{1,8}}\)

\( \Leftrightarrow \)\({\tan ^3}\alpha  = 1,6 \Rightarrow \tan \alpha  = \sqrt[3]{{1,6}} \Rightarrow \alpha  = \arctan (\sqrt[3]{{1,6}}) \approx 49,47\)

\(\min L \approx 6,55936...\) (mét)

Theo yêu cầu đề bài, làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng phần trăm:

Chiều dài ngắn nhất của chiếc thang là 6,56 mét.

Đáp án: 15.

+ Gọi \(x,\,y\,\left( {x,\,y > 0} \right)\) lần lượt là số tấn gỗ keo và gỗ bạch đàn công ty A cần mua mỗi tháng

Theo đề bài ta có hệ bất phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}200x + \,300y\, \ge 2800\\300x + 150y \ge 2400\\0 \le x \le 9\\0 \le y \le 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + \,3y\, \ge 28\\3x + 1,5y \ge 24\\0 \le x \le 9\\0 \le y \le 10\end{array} \right.\)

+ Đỉnh của miền nghiệm \(A\left( {3;\,10} \right),\,B\left( {5;\,6} \right),\,C\left( {9;\,10} \right),\,D\left( {9;\,\frac{{10}}{3}} \right)\)

+ Chi phí bỏ ra mua nguyên liệu \(C\left( {x,\,y} \right) = 1,2x + 1,5y\).

Ta có \(C\left( {3,\,10} \right) = 18,6;\,C\left( {5,\,6} \right) = 15;\,C\left( {9,\,\frac{{10}}{3}} \right) = 15,8;\,C\left( {9,\,10} \right) = 25,8\).

Vậy số tiền bỏ ra ít nhất là \(15\) triệu đồng để mua \(5\) tấn keo và \(6\) tấn bạch đàn.