Một quần thể vi khuẩn được nuôi cấy trong phòng thí nghiệm. Nồng độ dinh dưỡng \(S\) (đơn vị: mg/l) thay đổi theo thời gian \(t\) (giờ) được mô hình hóa bởi hàm số: \(S\left( t \right) = \frac{{10t + 5}}{{t + 1}}\). Biết rằng tốc độ sinh trưởng \(V\) của vi khuẩn phụ thuộc vào nồng độ dinh dưỡng theo hàm số: \(V\left( S \right) = \frac{{5S}}{{S + 2}}\). Khi thời gian \(t\) kéo dài, tốc độ sinh trưởng \(V\) tăng dần và ổn định quanh một ngưỡng \(K\) nhất định. Hỏi sau bao nhiêu phút thì tốc độ sinh trưởng của vi khuẩn đạt \(90\% \) của ngưỡng \(K\) đó?

Đáp án: 2371

Gọi \({X_0}\)là tập hợp các số thuộc \(X\)chia hết cho \(3\) ( chia \(3\) dư \(0\)) \( \Rightarrow {X_0} = \left\{ {3;6} \right\}\)

       \({X_1}\)là tập hợp các số thuộc \(X\)chia \(3\) dư \(1\)\( \Rightarrow {X_1} = \left\{ {1;4;7} \right\}\)

      \({X_2}\)là tập hợp các số thuộc \(X\)chia \(3\) dư \(2\) \( \Rightarrow {X_2} = \left\{ {2;5;8} \right\}\)

      Số tự nhiên có \(4\)chữ số được lập từ tập \(X\)là \(\overline {abcd} \)

Theo giả thiết \(a,b,c,d\)đều có \(8\)cách chọn nên số các số tự nhiên có 4 chữ số lập được là \({8^4} = 4096\)

Để \(\overline {abcd} \)chia hết cho \(3\)thì tổng của \(4\)chữ số phải chia hết cho \(3\) do đó ta có các trường hợp

TH1: cả \(4\)chữ số đều chia hết cho \(3\)khi đó \(a,b,c,d\)thuộc \({X_0}\) do đó số các số TN lập được là \({2^4} = 16\)

TH2: Có 2 chữ số chia hết cho \(3\), \(1\)chữ số chia \(3\) dư 1, 1 chữ số chia 3 dư 2

Số các số TN lập được là \(C_4^2{.2^2}.C_2^1.3.3 = 432\)

TH3: Có 3 chữ số chia 3 dư 1 và có 1 chữ số chia hết cho 3

Số các số TN lập được là \(C_4^3{.3^3}.2 = 216\) (số)

TH4: có 3 chữ số chia 3 dư 2 và 1 chữ số chia hết cho 3

Số các số TN lập được là \(C_4^3{.3^3}.2 = 216\) (số)

TH5: Có 2 chữ số chia 3 dư 1và 2 chữ số chia 3 dư 2

Số các số TN lập được là \(C_4^2{.3^2}{.3^2} = 486\) (số)

Suy ra xác suất để chọn được số chia hết cho 3 là \(P = \frac{{16 + 432 + 216 + 216 + 486}}{{4096}} = \frac{{683}}{{2048}}\).

Suy ra \(a = 683,b = 2048\). Vậy \(T = a + b = 2731\).

a) (Đúng) Gọi \[x,y\] lần lượt là số tấn sơn nội thất và sơn ngoài trời cần sản xuất \[x \ge 0,y \ge 0\].

b) Gọi \[x,y\] lần lượt là số tấn sơn nội thất và sơn ngoài trời cần sản xuất \[x \ge 0,y \ge 0\].

Theo đề bài ta có  \[\left\{ \begin{array}{l}2x + y \le 6\\x + 2y \le 8\\x - y \le 1\\0 \le x \le 2\\y \ge 0\end{array} \right.\] .

b) (Sai) Biểu thức doanh thu \[F\left( {x,y} \right) = 60x + 30y\]

Dựa vào đồ thị ta có các điểm \[A\left( {\frac{4}{3};\frac{{10}}{3}} \right),B\left( {2;2} \right),C\left( {2;1} \right),D\left( {0;4} \right);E\left( {1;0} \right);O\left( {0;0} \right)\];

Khi đó\[F\left( {x;y} \right) = F\left( {0;0} \right) = 0\]; \[F\left( {x;y} \right) = F\left( {\frac{4}{3};\frac{{10}}{3}} \right) = 180\]; \[F\left( {x;y} \right) = F\left( {2;2} \right) = 180\]; \[F\left( {x;y} \right) = F\left( {0;4} \right) = 120\]; \[F\left( {x;y} \right) = F\left( {1;0} \right) = 60\]

c) (Đúng) Do đó  \[MaxF\left( {x;y} \right) = 180\].

d) (Đúng) Ta có \[x + y \le 4,5\].

Doanh thu lớn nhất khi \[MaxF\left( {x;y} \right) = F\left( {\frac{4}{3};\frac{{10}}{3}} \right) = F\left( {2;2} \right) = 180\] đều thỏa mãn\[x + y \le 4,5\] .

Vì \[0 \le x \le 2\] nên lượng sơn nội thất cần sản suất ít nhất là \[1,4\] tấn.