Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A.\] Gọi \[I\] là trung điểm của \[BC.\] Kẻ \[IE\] vuông góc với \[AB,{\rm{ }}IF\] vuông góc với \[AC\] \[\left( {E \in AB,\,\,F \in AC} \right).\]          

a) Chứng minh tứ giác \[AEIF\] là hình chữ nhật.                    

b) Tứ giác \[EFCI\] là hình gì? Vì sao?

c) Trên tia \[IE\] lấy điểm \[G\] sao cho \[E\] là trung điểm của \[IG.\] Chứng minh tứ giác \[AIBG\] là hình thoi.     

a) Tứ giác \[AEIF\] có: \(\widehat {A\,\,} = 90^\circ \) (do \(\Delta ABC\) vuông tại \(A),\) \(\widehat {E\,} = 90^\circ \) (do \(IE \bot AB),\) \(\widehat {F\,} = 90^\circ \) (do \(IF \bot AC).\)

Suy ra \[AEIF\] là hình chữ nhật.

b) Xét \(\Delta ABC\) có \(AI\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(BC\) nên \(AI = \frac{1}{2}BC.\)

Mà \(I\) là trung điểm của \(BC\) nên \(IB = IC = \frac{1}{2}BC.\)

Do đó \(IB = IC = IA = \frac{1}{2}BC.\)

Xét \(\Delta ACI\) có \(IA = IC\) nên \(\Delta ACI\) cân tại \(I,\) khi đó \(IF\) là đường cao của tam giác nên đồng thời là đường trung tuyến của \(\Delta ACI.\)

Do đó \[F\] là trung điểm \[AC\] nên \[FA = FC = \frac{1}{2}AC.\]

Mà \(FA = IE\) (do \[AEIF\] là hình chữ nhật) nên \(IE = FC.\)

Tứ giác \(EFCI\) có \(IE = FC\) và \(IE\,{\rm{//}}\,FC\) nên \[EFCI\] là hình bình hành.

c) Xét \(\Delta ABI\) có \(IA = IB\) nên \(\Delta ABI\) cân tại \(I,\) khi đó \(IE\) là đường cao của tam giác nên đồng thời là đường trung tuyến của \[\Delta ABI.\]

Do đó \[E\] là trung điểm \[AB.\]

Xét tứ giác \(AIBG\) có \(E\) là trung điểm của \(AB\) và \(GI\) nên là hình bình hành.

Lại có \(GI \bot AB\) nên \(AIBG\) là hình thoi.