Cho hình bình hành \(ABCD\) có \(AB = 2AD\). Gọi \(E\), \(F\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(CD\), gọi \(O\) là giao điểm của \(AF\) và \(DE\), \(K\) là giao điểm của \(BF\) và \(CE\).

a) Chứng minh tứ giác \(AECF\) là hình bình hành.

b) Chứng minh tứ giác \(AEFD\) là hình thoi.

c) Tứ giác \(OEKF\) là hình gì? Vì sao?

a) Vì \(E\), \(F\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(CD\) nên \(AE = EB = \frac{1}{2}AB\) và \(DF = FC = \frac{1}{2}DC.\)

Vì \(ABCD\) là hình bình hành nên \(AB = CD\) và \(AD = BC.\)

Lại có \(AB = 2AD\) nên \(AE = EB = AE = EB = AD = BC.\)

Xét tứ giác \(AECF\) có \(AE\,{\rm{//}}\,CF\) (do \(ABCD\) là hình bình hành) và \(AE = CF\) (chứng minh trên) nên \(AECF\) là hình bình hành.

b) Xét tứ giác \(AEFD\) có \(AE\,{\rm{//}}\,FD\) (do \(ABCD\) là hình bình hành) và \(AE = FD\) (chứng minh trên) nên \(AEFD\) là hình bình hành.

Lại có \(AE = AD\) (chứng minh câu a) nên \(AEFD\) là hình thoi.

c) Chứng minh tương tự câu b, ta cũng có tứ giác \(EBCF\) là hình thoi.

Vì \(AEFD\) là hình thoi nên \(AF \bot DE\) tại \(O,\) do đó \(\widehat {EOF} = 90^\circ .\)

Vì \(EBCF\) là hình thoi nên \(EC \bot BF\) tại \(K,\) do đó \(\widehat {EKF} = 90^\circ .\)

Vì \(AEFD\) là hình thoi nên \(DF = EF\) (hai cạnh kề bằng nhau)

Mà \(DF = \frac{1}{2}DC\) (do \(F\) là trung điểm của \(DC),\) suy ra \(EF = \frac{1}{2}DC.\)

Xét \(\Delta EDC\) có đường trung tuyến \(EF\) và \(EF = \frac{1}{2}DC\) nên \(\Delta EDC\) vuông tại \(E.\)

Suy ra \(\widehat {OEK} = 90^\circ .\)

Xét tứ giác \(OEKF\) có \(\widehat {EOF} = \widehat {EKF} = \widehat {OEK} = 90^\circ \) nên là hình chữ nhật.