Tuổi hai anh em cộng lại bằng 21. Tuổi anh hiện nay gấp đôi tuổi em lúc anh bằng tuổi em hiện nay.Tính tuổi của mỗi người hiện nay.

a) Ta có: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x\sqrt 5  - (1 + \sqrt 3 )y = 1}\\{(1 - \sqrt 3 )x + y\sqrt 5  = 1}\end{array}} \right.\]

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{5x - \sqrt 5 (1 + \sqrt 3 )y = \sqrt 5 }\\{ - 2x + \sqrt 5 (1 + \sqrt 3 )y = 1 + \sqrt 3 }\end{array}} \right.\]

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x\sqrt 5  - \left( {1 + \sqrt 3 } \right)y = 1}\\{3x = 1 + \sqrt 3  + \sqrt 5 }\end{array}} \right.\]

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{{1 + \sqrt 3  + \sqrt 5 }}{3}}\\{y = \frac{{2 + \sqrt 5  + \sqrt {15} }}{{3\left( {\sqrt 3  + 1} \right)}}}\end{array}} \right.\]

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{{1 + \sqrt 3  + \sqrt 5 }}{3}}\\{y = \frac{{ - 1 + \sqrt 3  + \sqrt 5 }}{3}}\end{array}} \right.\]

Vậy hệ có nghiệm duy nhất \[\left( {\frac{{1 + \sqrt 3  + \sqrt 5 }}{3};\frac{{ - 1 + \sqrt 3  + \sqrt 5 }}{3}} \right)\].

b) Điều kiện: \[x \ne  - 1\,;y \ne  - 1\]

Đặt: \[{\rm{u}} = \frac{x}{{x + {\rm{l}}}};{\rm{v}} = \frac{{\rm{y}}}{{{\rm{y}} + {\rm{l}}}}\]. Ta có hệ phương trình:

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2u + v = \sqrt 2 }\\{u + 3v =  - 1}\end{array}} \right.\]

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{u}} = \frac{{1 + 3\sqrt 2 }}{5}}\\{{\rm{v}} = \frac{{ - 2 - \sqrt 2 }}{5}}\end{array}} \right.\]

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{\rm{x}}}{{{\rm{x}} + 1}} = \frac{{1 + 3\sqrt 2 }}{5}}\\{\frac{{\rm{y}}}{{{\rm{y}} + 1}} = \frac{{ - 2 - \sqrt 2 }}{5}}\end{array}} \right.\]

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\rm{x}} = \frac{{1 + 3\sqrt 2 }}{{4 - 3\sqrt 2 }}}\\{{\rm{y}} =  - \frac{{2 + \sqrt 2 }}{{7 + \sqrt 2 }}}\end{array}} \right.\]

Hệ có nghiệm duy nhất: \[\left( {\frac{{1 + 3\sqrt 2 }}{{4 - 3\sqrt 2 }}; - \frac{{2 + \sqrt 2 }}{{7 + \sqrt 2 }}} \right)\].

a) Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x + 5y = 2}\\{\frac{2}{5}x + y = 1}\end{array}} \right.\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x + 5y = 2}\\{2x + 5y = 5}\end{array}} \right.\).

Hệ vô nghiệm.

Học sinh tự vẽ hình. Hai đường thẳng \(2x + 5y = 2\) và \(2x + 5y = 5\) song song với nhau.

b) Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{0,2x + 0,1y = 0,3}\\{3x + y = 5}\end{array}} \right.\)

\[\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x + y = 3}\\{3x + y = 5}\end{array}} \right.\\\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{y =  - 1}\end{array}} \right.\end{array}\]

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x - 2y = 1}\\{3x - 2y = 1}\end{array}} \right.\]

Khi đó \[y = \frac{1}{2}(3x - 1)\]

Hệ có nghiệm duy nhất \[\left( {2\,;\,\, - 1} \right)\].

Hai đường thẳng \(0,2x + 0,1y = 0,3\) và \(3x + y = 5\)cắt nhau tại điểm \[\left( {2\,;\,\, - 1} \right)\].

c) \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{3}{2}x - y = \frac{1}{2}}\\{3x - 2y = 1}\end{array}} \right.\]

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x - 2y = 1}\\{3x - 2y = 1}\end{array}} \right.\]

Khi đó \[y = \frac{1}{2}\left( {3x - 1} \right)\]

Hệ có vô số nghiệm \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = \frac{1}{2}(3x - 1)}\\{x \in \mathbb{R}}\end{array}} \right.\].

Hai đường thẳng \[\frac{3}{2}x - y = \frac{1}{2}\] và \[3x - 2y = 1\] trùng nhau.