Bài tập cuối chương 1 lớp 9 (có đáp án)

Ta có: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x - y = m}\\{4x - {m^2}y = 2\sqrt 2 }\end{array}\,\,} \right.\]

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = 2x - m}\\{4x - {m^2}\left( {2x - m} \right) = 2\sqrt 2 }\end{array}} \right.\]

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = 2x - m}\\{2\left( {2 - {m^2}} \right)x = 2\sqrt 2  - {m^3}}\end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\].

a) Với \[{\rm{m}} =  - \sqrt 2 \]phương trình (1) trở thành \[0.x = 4\sqrt 2 \], vô nghiệm.

Vậy hệ đã cho vô nghiệm.

b) Với \[{\rm{m}} = \sqrt 2 \]phương trình (1) trở thành \[0.x = 0\], đúng với mọi \[x\].

Vậy hệ đã cho có nghiệm \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \in \mathbb{R}}\\{y = 2x - \sqrt 2 }\end{array}} \right.\].

c) Với \[{\rm{m}} = 1\] phương trình (1) trở thành \[2x = 2\sqrt 2  - 1\] hay \[x = \frac{{2\sqrt 2  - 1}}{2}\].

Vậy hệ đã cho có nghiệm: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{{2\sqrt 2  - 1}}{2}}\\{y = 2\sqrt 2  - 2}\end{array}} \right.\].

Gọi vận tốc của người xuất phát từ A là \[{{\rm{v}}_1}\](m/phút), của người đi từ B là \[{{\rm{v}}_2}\] (m/phút). Điều kiện \[{{\rm{v}}_1} > 0,{{\rm{v}}_2} > 0\],

Khi gặp nhau tại địa điểm cách A là 2 km, người xuất phát từ A đi được 2000 m, người xuất phát từ B đi được 1600.

Ta có phương trình: \[\frac{{2000}}{{{v_1}}} = \frac{{1600}}{{{v_2}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\]

Điều đó còn cho thấy người xuất phát từ B đi chậm hơn.

Khi người đi từ B xuất phát trước người kia 6 phút thì hai người gặp nhau ở chính giữa quãng đường, nghĩa là mỗi người đi được 1,8 km = 1800 m. Ta có phương trình: \[\frac{{1800}}{{{v_1}}} + 6 = \frac{{1800}}{{{v_2}}}\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\].

Đặt \[\frac{{100}}{{{v_1}}} = x\,\,\] và \[\frac{{100}}{{{v_2}}} = y\], từ (1) và (2), ta có hệ phương trình: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{20x = 16y}\\{18x + 6 = 18y}\end{array}} \right.\]

Hệ phương trình này có nghiệm \[(x,y) = \left( {\frac{4}{3};\frac{5}{3}} \right)\].

Từ đó suy ra \[\frac{{100}}{{{v_1}}} = \frac{4}{3}\] nên \[{v_1} = 75;\frac{{100}}{{{v_2}}} = \frac{5}{3}\], suy ra \[{v_2} = 60\].

Các giá trị tìm được \[{v_1}\]và \[{v_2}\] thỏa mãn các điều kiện của bài toán.

Vậy vận tốc đi từ A là 75 m/phút, của người đi từ B là 60 m/phút.

Gọi x và y lần lượt là số gam đồng và kẽm có trong vật đó \[{\rm{(x}}{\rm{, y}}\,{\rm{ >  0)}}\].

Vì khối lượng của vật là 124g nên ta có phương trình \[{\rm{x}}\,{\rm{ +  y  =  124}}\].

Thể tích của x gam đồng là \[\frac{{10}}{{89}}x\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\]. Thể tích của y gam kẽm là \[\frac{1}{7}y\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\]

Vì thể tích của vật là \[15\,\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}\] nên ta có phương trình: \[\frac{{10}}{{89}}x + \frac{1}{7}y = 15\]

Từ đó ta có hệ phương trình:\[\left\{ \begin{array}{l}x + y = 124\\\frac{{10}}{{89}}x + \frac{1}{7}y = 15\end{array} \right.\]

Giải hệ phương trình ta được \[x = 89\,;\,y = \,35\]

Vậy số gam đồng trong vật là \[89\,\,{\rm{gam}}\,\]và số gam kẽm trong vật là \[35\,\,{\rm{gam}}\].

Giải

Với năng suất ban đầu, giả sử đội I làm xong công việc trong x ngày, đội II làm trong y ngày \(\left( {x,\,\,y \in \mathbb{N}*} \right)\)

Theo dự định hai đội hoàn thành công việc trong 12 ngày nên có phương trình: \[\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{12}}\].

Trong 8 ngày, cả hai đội làm được \[\frac{8}{{12}} = \frac{2}{3}\] (công việc); còn lại \[\frac{1}{3}\]công việc do đội II làm.

Do năng suất gấp đôi nên đội II làm mỗi ngày được \[\frac{2}{y}\]công việc và hoàn thành nốt \[\frac{1}{3}\] công việc nói trên trong 3,5 ngày.

Do đó ta có phương trình: \[3,5.\frac{2}{y} = \frac{1}{3}\] hay \[y = 21\]

Ta có hệ phương trình:\[\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{{12}}\\y = 21\end{array} \right.\] hay \[\left\{ \begin{array}{l}x = 28\\y = 21\end{array} \right.\].

Vậy đội I làm trong 28 ngày và đội II làm trong 21 ngày.