Chứng minh bất đẳng thức \({{\rm{a}}^2} + {{\rm{b}}^2} \ge 2{\rm{ab}}\).

Cho \({\rm{a}} > 0;{\rm{b}} > 0\). Chứng minh rằng \(:\frac{{\rm{a}}}{{\rm{b}}} + \frac{{\rm{b}}}{{\rm{a}}} \ge 2\).

Cho \({\rm{a}} > {\rm{b}}\) và \({\rm{m}} > {\rm{n}}\). Chứng minh rằng \({\rm{a}} + {\rm{m}} > {\rm{b}} + {\rm{n}}\).

Cho \({\rm{a}},{\rm{b}},{\rm{c}} > 0\). Chứng minh rằng : \(\frac{{{\rm{a}} + {\rm{b}}}}{{\rm{c}}} + \frac{{{\rm{b}} + {\rm{c}}}}{{\rm{a}}} + \frac{{{\rm{c}} + {\rm{a}}}}{{\rm{b}}} \ge 6\).

Cho \({\rm{a}} > {\rm{b}} > 0\). Chứng minh rằng \(\frac{1}{{\rm{a}}} < \frac{1}{{\;{\rm{b}}}}\).